Ardışık Çift Sayıların Toplamı

Ardışık sayılar matematiğin ilk okul düzeyinden başlayarak en temel konusudur. Ardışık çift sayıların toplamı konusu da 4. sınıf müfredatından itibaren karşımıza çıkmaktadır. Konuyu iyi öğrenmek için önce mantığını iyi anlamak, ardından da bol miktarda örnek çözmek gerekir. Örnek çözülmediği taktirde öğrenilen bilgiler çabucak unutulacaktır.

Ardışık Sayılar Nelerdir?

Adından da anlaşılabileceği gibi art arda düzenli gelen sayılara ardışık sayılar denir. Örneğin 1, 2, 3, 4 şeklinde giden sayı dizileri ardışık sayılardır. Daha önce ardışık sayıların toplamı yazısında ardışık sayıların toplamı nasıl bulunur öğrendik. Bu yazıda daha çok çift sayıların toplamı üzerinde duracağız.

0, 2, 4, 6, 8, 10, 12 … 2n şeklinde ilerleyen sayı dizisine ardışık çift sayılar denir.

Sayı dizisi her zaman sıfırdan başlamayabilir. Örneğin 18, 20, 22, 24 … 2n şeklinde de gidebilir. Şuna dikkat etmek gerekir ki ardışık çift sayıların genel terimi 2n şeklindedir. Bunu bilmek birçok soru tipinde işimize yarayacaktır.

Ardışık Çift Sayılar Nasıl Toplanır? (Basit Formül)

Genel terimi 2n olan ardışık çift sayıların toplamı n.(n + 1) formülüyle toplanabilir. Burada dikkat edilmesi gereken sayı dizisinin ilk pozitif çift sayı olan 2’den başlamasıdır. Bir örnek yapalım:

Örnek: 2 + 4 + 6 + 8 … 80’e kadar olan ardışık çift sayıları toplayalım. Bu ifadenin en büyük terimi 2n = 80 şeklindedir. Öyleyse n = 40 olur. Formülü uygularsak da 40.41 = 1640 bulunur.

Dilerseniz bu tür toplamları yapmak için sayı dizisini 2 parantezine alabilirsiniz. Bu durumda 2(1 + 2 + 3 … + 40) toplamı ortaya çıkacaktır. Parantez içi için n.(n + 1) / 2 formülünü kullandığımı biliyoruz. Parantez dışındaki 2’yi çarptığımız zaman 2’ler birbirini götürür. Bu durumda 40.41 elimizde kalır.

Böylelikle ardışık çift sayıların toplamı formülü için de ispat yapmış olduk. Formülün nereden geldiğini öğrendiysek diğer sorularda da rahatlıkla kullanabiliriz.

Örnek Sorular ve Çözümleri

Ardışık çift sayıların toplamıyla ilgili örnek sorular çözerek yukarıda öğrendiğimiz basit formülü iyice pekiştirelim.

Soru #1: Doğal sayılar kümesindeki en küçük 100 tane ardışık çift sayının toplamı nedir?

A) 10100

B) 10000

C) 9900

D) 9800

E) 9780

Çözüm: Bu soruda 2’den başlamak büyük hatadır. Çünkü en küçük doğal sayı 0’dır. 0’den başladığımızda 0 + 2 + 4 + 6 … + 198 şeklinde toplama işlemi çıkmaktadır. 0’ı yok sayabiliriz çünkü 0’ın toplam açısından bir değeri yoktur.

Bu durumda toplama işlemimiz 2 + 4 + 6 … + 198 olacaktır. 2n = 198’den en büyük terim n = 99 çıkacaktır. Formülü uygularsak n.(n + 1) = 99.100 = 9900 olur. Doğru cevap A seçeneğidir.

---

Soru #2: 40 ile 90 arasındaki çift sayıların toplamı kaçtır?

A) 1520

B) 1690

C) 1710

D) 1740

E) 1780

Çözüm: Bu soruda dikkat etmemiz gereken nokta formülü sadece 2’den başlayan dizilerde kullanabileceğimizdir. Öyleyse soruyu çözmek için 2’den 90’a kadar olan tüm çift sayıların toplamından, 2’den 38’e kadar olan çift sayıların toplamını çıkarırsak 40 ile 90 arasındaki çift sayıların toplamını buluruz.

x = 2 + 4 + 6 … 90 ⇒ n = 45, n.(n + 1) = 45.46 = 2070

y =  2 + 4 + 6 … 38 ⇒ n = 19, n.(n + 1) = 19.20 = 380 bulunur.

Arasındaki farkı da 2070 – 380 = 1690 şeklinde bulabiliriz. Doğru yanıt B seçeneğidir.

---

Soru #3: A sonlu bir sayı dizisini simgelemektedir. Bu sayı dizisi sayma sayılarından oluşmaktadır ve en büyük terim 180’dir. A’nın her terimi 2 ile çarpılarak genişletiliyor ve B sayı dizisi elde ediliyor. B sayı dizisinin terimlerinin toplamı kaçtır?

A) 38400

B) 39200

C) 39800

D)40000

E) 40200

Çözüm: Soru basit olmasına rağmen sorunun metni kafamızı karıştırabilir. ÖSYM bu tarz soruları çok sevmektedir. Sayı dizisindeki her sayıyı 2 ile çarparsak ardışık çift sayı dizisini elde ederiz. Yani 1, 2, 3 … 200 serisi 2, 4, 6, … 400 şeklinde olacaktır.

Bu durumda soru 2’den 400’e kadar çift sayıların toplamı şeklinde olmaktadır. En büyük terim 2n = 400’den n = 200 olmaktadır. Öyleyse toplam da 200.201 = 40200 olacaktır. Doğru yanıt E seçeneğidir.