Ardışık Sayıların Toplamı
Ardışık sayı soruları temel matematikte en çok karşılaştığımız soru tiplerinin başında gelmektedir. İlkokul 4. sınıftan itibaren bu sorularda karşılaşırız. Konuyu iyi öğrenirsek her seviyedeki soruyu rahatlıkla çözebilecek duruma geliriz. Ancak konuyu bir kere öğrenmezsek her seferinde problem yaşarız.
Bu yazıda basit bir formül üzerinden ardışık sayı soruları nasıl çözülür bunu öğreneceğiz. Öncesinde ardışık sayı nedir diyerek konuya başlayalım.
Ardışık Sayı Nedir?
Belirli aralıklarla art arda sıralanan sayılara ardışık sayı denmektedir. Art arda belirli bir düzende gelen sayılara ardışık sayılar denir. En bilindik ardışık sayılar 1, 2, 3 şeklinde giden sayma sayılarıdır. Ardışık tek sayılar 1, 3, 5 şeklinde giderken ardışık çift sayılar da 2, 4, 6 şeklinde gitmektedir.
Sayıları 6’şar şeklinde dizersek 6, 12, 18 şeklinde devam ettirsek yine ardışık sayılar olur. Önemli olan sayılar arasındaki artım miktarının sabit olmasıdır. Yani sayıların belirli bir düzende ilerlemesi gerekir.
1, 2, 4, 5, 8 şeklinde artan ancak belirli bir düzende ilerlemeyen sayılar ardışık sayı değildir.
Ardışık Sayı Toplam Formülü
Ardışık sayıların toplamı için n.(n + 1)/2 şeklindeki formülü kullanırız. Bu formülle neredeyse bütün soru tiplerini çözebiliriz. Ancak bu formülün kullanılması için serinin 1’den başlaması gerekmektedir.
Bir örnek üzerinden formülün kullanımını görelim. 1’den 30’a kadar sayıların toplamı için n = 30 olur. Bu durumda 30.31 / 2 = 465 bulunur.
Eğer sayılar 1’den başlamıyorsa bu durumda toplamların farkını almamız gerekir. Yani 1’den 30’a kadar değil de 20’den 30’a kadar sayıların toplamı isteniyorsa o zaman 1’den 30’a kadar sayıların toplamından 1’den 19’a kadar olan sayıların toplamını çıkarırız.
1’den 19’a kadar sayıların toplamı 19.20/2 = 190 bulunur. 465 – 190 = 275 bulunacaktır.
Ardışık tek sayıların toplamı için n2 formülü kullanılır. Ancak burada şuna dikkat etmek gerekir. Ardışık sayı dizisinin terimi 2n – 1 şeklinde olmaktadır. Örneğin 1 + 3 + 5 + 7 + 9 + 11 serisinde bütün terimler 2n – 1 ile ifade edilir. Dizisinin en büyük terimi 11 olduğuna göre 2n – 1 = 11’den n = 6 bulunur. Öyleyse bu dizisinin toplamı da 6’nın karesi 36 olmaktadır.
Ardışık çift sayıların toplamı için de genel terim 2n’dir. Ardışık çift sayıların toplamı formülü de n.(n + 1) şeklinde olmaktadır. Örneğin 2 + 4 … + 20 toplamı için 2n = 20 ise n = 10 olur. Bu durumda toplam da 10.11 = 110 bulunur.
Ardışık Sayıların Toplamı ile İlgili Örnekler
Örnek sorular çözerek konuyu pekiştirmeye çalışalım.
Örnek: 1’den 20’ye kadar doğal sayıların toplamı kaçtır?
Çözüm: 1 + 2 + 3 … + 20 şeklindeki toplam için n = 20 olur. Bu durumda formülü uyguladığımızda 20.21 / 2 = 210 bulunur.
Örnek: 4 + 8 + 12 … + 96 toplamının sonucu nedir?
Çözüm: Soruyu formülü kullanabileceğimiz bir ardışık sayı dizisine çevirmek için 4 parantezine alalım. Çünkü sayılar 4’er artmaktadır. Bu durumda 4(1 + 2 + 3 … + 24) elde edilir. Parantezin içi için n = 24 olur. Parantezin içini toplarsak 24.25 / 2 = 300 bulunur. Şimdi de parantezin dışındaki 4 ile bunu çarpalım. 300.4 = 1200 bulunur.
Örnek: 1 + 3 + 5 … + 27 tek sayı dizisinin toplamı kaçtır?
Çözüm: Tek sayıların genel terimi 2n – 1 şeklindedir. Bu durumda 2n – 1 = 27 olur. Buradan da n = 14 bulunacaktır. Yukarıda verdiğimiz formülde tek sayıların toplamının n2 olduğunu söyledik. Öyleyse 14.14 = 196 bulunacaktır.
Soru: 22 + 23 + 24 … + 62 ardışık sayı dizisinin toplamı aşağıdakilerden hangisidir?
A) 1520
B) 1580
C) 1680
D) 1740
E) 1780
Çözüm: Yukarıda belirttiğimiz gibi önce diziyi 1’den başlamış gibi düşüneceğiz. 1’den 62’ye kadar sayıların toplamı 62.63 / 2 = 1953 bulunur. Şimdi dizide eksik olan ilk 21 sayının toplamını bulalım. 1’den 21’e akdar olan sayılar 21.22 / 2 = 231 bulunur. Bu iki sonucun farkını alırsak 1953 – 213 = 1740 bulunur. Cevap D seçeneğidir.
Örneklerde görüldüğü gibi basit bir formülü etkili kullanarak ardışık sayıların toplamını rahatlıkla bulabiliyoruz. Buna benzer örnekleri çoğaltarak pratiğinizi arttırabiliriz.
Ilgili YAZILAR
Yazar Hakkinda Bilgi
admin
notbu.net
