Birinci Dereceden Denklemler Konu Anlatımı

admin | Kasım 20, 2018 | Matematik | Yorum yapılmamış

Birinci dereceden denklemler konusu matematiğin en temel ve en önemli konularından biridir. Basit problemlerin çözümünden tutun da en karmaşık problemlerin çözümüne kadar birinci dereceden denklemler karşımıza çıkmaktadır. TYT gibi temel matematiğin esas olduğu sınavlarda da bu konuyu bilmemiz çok işimize yarayacaktır. Bu konu anlaşılmadan matematiğin diğer konularının anlaşılması da güç olacaktır.

Bu yazıda birinci dereceden konusunu birlikte öğrenmeye çalışacağız. En basit 1. dereceden denklem 2 fazlası 5 eden sayı kaçtır şeklindeki basit problemlerde karşımıza çıkar. Bilinmeyen cevap x dediğimiz zaman x + 2 = 5 şeklinde denklemi ifade eder ve çözmeye çalışırız.

Birinci dereceden denklemler ax + b formatındadır. Denklemin bilinmeyenleri x ve y gibi ifadelerin üssü 1’dir.

1. Dereceden Denklemin Kurulması

Temel matematikte denklemi kurmak denklemi çözmekten daha önemlidir. Denklem doğru kuruldu mu çözümü için çok kolay yöntemler mutlaka vardır. Birçok problemin çözümünde birinci dereceden denklem kurmak gerekir.

Denklem kurarken bilinmeyene bir harf veririz. Örneğin 2 katının 5 fazlası 21 olan sayı dendiği zaman bilmediğimiz sayıya x dersek bunun 2 katının 5 fazlasını 21’e eşitlemek için 2x + 5 = 21 eşitliğini kurarız. Şunu unutmamak gerekir ki denklem demek eşitlik demektir.

Yüzde problemlerinde, faiz problemlerinde, yaş problemlerinde ve diğer bütün problem sorulardan denklem kurmamız gerekir. Burada bilinmeyene bir harf vermek gereklidir. Bu harf genellikle x olmaktadır. Matematiğin evrensel dili gereği bu böyledir. Yoksa x yerine başka harf de koyabilirsiniz.

Bir örnek verelim. Ali’nin yaşı Ahmet’in yaşından 7 fazladır dendiği zaman Ahmet’in yaşına x, Ali’nin yaşına da x + 7 diyebiliriz. Ali’nin babasının yaşı da Ali’nin yaşının iki katı ise bu da 2.(x + 7) şeklinde ifade edilebilir.

Birinci Dereceden Denklemlerin Çözülmesi

Denklemin doğru konulması çok önemlidir. Denklem doğru kurulduktan sonra çözümü basittir. En çok kullanacağımız çözüm yöntemi eşitlikte bilinmeyenler ile bilinenleri bir tarafa toplamaktır. Eşitliğin diğer tarafına geçen her şey işaret değiştirir.

Örneğin x + 4 = 5 ise burada 4’ü öbür tarafa – olarak atarız ve x = 5 – 4 = 1 şeklinde bulabiliriz. Bu çok basit bir örnektir ancak karşı tarafa atarken işaret değiştirmeyi unutmamamız gerekir.

Birinci dereceden denklemde eşitliğin bir tarafında 0 varsa yani ax + b = 0 şeklindeyse çözüm x = -b / a şeklinde bulunur. Bunu ezberlemeye gerek yoktur ancak pratik olarak bilmemizde fayda olabilir. Örneğin 2x + 6 = 0 ise x = -6 / 2 = -3 olur. Ancak bunu ezberlemek yerine 6’yı öbür tarafa – olarak atarsak 2x = -6 olur. Burada da her iki tarafı 2’ye bölersek x = -3 bulunacaktır.

İki Bilinmeyenli Birinci Dereceden Denklemler

Bazen denklemler de iki tane bilinmeyen bulunur. Bu durumda denklemle ilgili iki tane eşitlik verilmesi gerekir. İki eşitlikten elde ettiğimiz bilgiye göre iki bilinmeyeni çözeriz. Eğer denklem 3 bilinmeyenliyse o zaman bize 3 eşitlik verilmesi gerekir.

X + Y = 10

X – 2Y = 1

Şeklinde iki bilinmeyenli denklem örneği verilmiştir.

İkinci dereceden denklemlerin çözülmesinde en çok kullanılan yöntem yok etme metodudur. Bununla birlikte yerine koyma metodu da kullanılmaktadır.

Yok Etme Metodu

Bilinmeyenlerden birini yok ederek ötekini bulmayı sağlar. Bunun yapılabilmesi için de eşitlikleri uygun katsayılarla sadeleştirip genişletiriz. Böylece bilinmeyenlerden en az birinin katsayısı iki eşitlikte de aynı olur. Örnek üzerinden görelim.

x + 2y = 20

x – y = 11

Şeklinde verilen denklemde y’yi yok etmek için alttaki eşitliği 2 ile genişletelim. Böylece her iki eşitlikte de y’nin katsayısı benzer olur. Eşitliğin her iki tarafını 2 ile çarparsak eşitlik bozulmaz.

x + 2y = 20

2x – 2y = 22

Denklemleri alt alta toplarsak;

3x = 42 ⇒ x = 14 bulunur. Buradan da ilk eşitlikte x yerine 14 yazarsak 14 + 2y = 20 ⇒ 2y = 20 – 14 ⇒ 2y = 6 ⇒ y = 3 bulunur.

Yerine Koyma Yöntemi

Yerine koyma metodunu kullanmak için bilinmeyenlerden birinin diğeri cinsinden yazarız. Böylece yine bilinmeyenlerin sayısını teke düşürmüş oluruz.

x = 2y + 2

2x + y = 29 olduğuna göre x ve y’i bulalım.

Örnekte x’in y’ye göre ne olduğu verilmiştir. Öyleyse ikinci eşitlikte x gördüğümüz her yere 2y + 2 yazabiliriz.

2(2y + 2) + y = 29 olur.

Parantezi dağıtırsak 4y + 4 + y = 29 ⇒ 5y + 4 = 29 ⇒ 5y = 25 olur. Buradan da her iki tarafı 5’e bölersek y = 5 olacaktır. İlk verdiğimiz bilgide x = 2y + 2 olarak verildiğine göre ve y = 5 olduğuna göre x = 2.5 + 2 = 12 bulunur.

Birinci Dereceden Denklemlerle İlgili Soru ve Çözümler

Yukarıda konuyu kısaca özetledik. Şimdi de örnek sorular üzerinden öğrendiklerimizi uygulamayalım.

Soru 1: 4 katının 5 fazlası, 2 katının 11 fazlasına eşit olan sayı kaçtır?

Çözüm: Bilinmeyene x dersek 4x + 5 = 2x + 11 eşitliği kurulur. Bilinenler ile bilinmeyenleri ayrı taraflara toplarsak 4x – 2x = 11 – 5 ⇒ 2x = 6 ⇒ x = 3 bulunur.

Soru 2: Bir sayının 3 katının 10 fazlası aynı sayının 2 eksiğinin 5 katına eşittir. Bu sayı kaçtır?

Çözüm: 2 eksiğinin 5 katı ile 5 katının 2 eksiği kavramları farklıdır. Eksiğinin katı dendiği için parantez içerisinde katını alabiliriz. Bu durumda denklem 3x + 10 = 5(x – 2) şeklinde kurulur. Parantezi açarsak 3x + 10 = 5x – 10 bulunur.

Aynı şekilde bilinenler bir tarafa bilinmeyenler bir tarafa dersek 5x – 3x = 10 + 10 ⇒ 2x = 20 ⇒ x = 10 bulunur.

Soru 3: Ayşe’nin yaşı Fatma’nın yaşından 2 fazladır. Ayşe’nin annesinin yaşı ise Ayşe’nin yaşının iki katıdır. Üçünün yaşlarının toplamı 82 olduğuna göre Fatma kaç yaşındadır?

Çözüm: Fatma’nın yaşına x dersek Ayşe’nin yaşı da x + 2 olacaktır. Bu durumda Ayşe’nin annesinin yaşı da 2x + 4 olacaktır. Şimdi x, x + 2 ve 2x + 4 ifadelerini toplayalım. x + x + 2 + 2x + 4 = 82 ⇒ 4x + 6 = 82 bulunur. Buradan da 4x = 76 ⇒ x = 19 bulunur. Fatma’nın yaşı x olduğuna göre cevap 19 olacaktır.

Soru 4: Tam sayılarda tanımlı x ve y sayıları için x + 2y = 15, 2x + 5y = 36 eşitlikleri verilmektedir. Buna göre x.y kaç olur?

Çözüm: Soruda bilinmeyenlerden birini yok etmemiz gerekiyor. Bu soruda x’lerin katsayıları orantılı olduğu için x’i yok etmek daha kolay olacaktır. Öyleyse birinci eşitliği -2 ile çarpalım. Bu durumda eşitlikler şöyle olacaktır:

-2x -4y = -30

2x + 5y = 36

Her iki eşitliği toplarsak;

y = 6 bulunur. Bulduğumuz bu denklemi ilk baştaki birinci eşitlikte yerine koyarsak x + 2.6 = 15 ⇒ x + 12 = 15 olur. Buradan da x = 3 bulunacaktır.

Birinci dereceden denklemlerle ilgili örnek sorular ve örnek çözümler paylaştık. Konuyu pekiştirmek adına bol miktarda test sorusu çözmenizi öneririz. Ayrıca temel matematikte problem sorularında da sürekli kullanacağınız için denklemlerin nasıl kurulduğuna dikkat etmelisiniz.

Tags:denklemler