Çokgen Formülleri

Çokgenler geometride en çok soru tipinin karşımıza çıktığı konudur. Sorularda karşımıza daha çok konveks çokgenler çıkmaktadır. Yine çokgenlerde köşegen sayısı, iç açıların toplamı vesaire gibi konularda miktarda soru gelmektedir. Bu yazıda çokgen formülleri üzerinde duralım.

Eğer çokgen ne anlama geliyor bilmiyorsanız çokgen nedir adlı yazıdan yardım alabilirsiniz.

Çokgen formülleri

Sırasıyla Çokgen Formülleri

Bütün kenar uzunlukları ve açı ölçüleri eşit olan çokgenlere düzgün çokgen denir.

  • Bir çokgenin ne kadar kenarı varsa o kadar köşesi bulunmaktadır. Kenar veya köşe sayısı n ile gösterilir.
  • Çokgenlerin bütün iç açılarının toplamı (n-2).180° formülü ile bulunur.
  • Bir düzgün çokgenin her bir iç açısı (n-2).180°/n ile bulunur. (Toplam iç açıyı köşe sayısına bölüyoruz.)
  • Bütün çokgenlerin dış açıları toplam 360° olur. Bu çokgene göre değişiklik göstermez.
  • Düzgün bir çokgenin her bir dış açısının ölçüsü 360°/n ile bulunur.
  • Çokgenin bir köşesinden çizilen köşegen sayısı formülü (n – 3) şeklindedir.
  • Çokgenin bütün köşegenlerinin sayısı n.(n – 3)/2 ile bulunur.
  • Çokgen bir köşeden çizilen köşegen ile (n – 2) üçgensel bölgeye ayrılır.
  • Kenar sayısı n ile ifade edilen bir çokgenin çizilebilmesi için en az (2n – 3) tane elemanın değerinin bilinmesi gerekir. Bunlardan (n – 2) tanesi uzunluk ve (n – 1) tanesi açı olmalıdır.
  • Bir kenarının uzunluğu a ve ve iç teğet çemberinin yarıçapı r olan bir düzgün çokgenin alanı n.a.r/2 ile bulunur.
  • Bir dış açısının ölçüsü α olan bir düzgün çokgenin çevrel çemberinin yarıçapı R ise alanı n.R2.sinα/2 ile bulunur.

Yukarıda bütün çokgen formülleri verilmiştir. Unutulmamalıdır ki bu formüller konveks çokgenler için geçerlidir.

Köşegen Sayısı Formülü İspatı

Çokgen formüllerinden en çok köşegen sayısı formülü ispatlanmak istenir. Çünkü bu formülün mantığını anladığınız zaman formülü ezberlemenize gerek kalmaz.

Köşegen sayısı formülü ispatı maddeler halinde şöyle yapılabilir:

  1. Bir çokgenin (n kenarlı) bir köşesinden n – 3 adet köşegen çizilir. Bunun nedeni kendisine, sağında bulunana ve solunda bulunana çizilemeyecek olmasıdır.
  2. Çokgende bu şekilde n tane köşe olduğuna göre toplam çizilen köşegen sayısı da n.(n – 3) olmalıdır.
  3. Ancak bu şekilde çizdiğimiz zaman her köşegeni iki kere çizmiş oluruz. Çünkü örneğin A’da D’ye çizilen köşegen ile D’den A’ya çizilen köşegen aynıdır.
  4. Tekrar eden köşegenleri düşmek için toplam çizilen köşegen sayısı ikiye bölünür. Böylece çokgenin köşegen sayısı n.(n – 3)/2 şeklinde elde edilir.

Bu ispatı kendiniz de yapabilirsiniz. Oldukça basit ve güzel bir ispattır.

Örnek Sorular

Çokgenler ilgili öğrenmemiz gereken temel bütün formülleri öğrendik. Birkaç örnek yaparak bu formüllerin kullanımını pekiştirelim.


Örnek 1: Bir düzgün beşgenin köşegen sayısı kaçtır?

A) 5

B) 10

C) 15

D) 18

E) 21

Çözüm: Formülü uygulayalım. Yukarıda ispatını yaptık zaten. Kenar sayısı 5 olduğuna göre 5.2 / 2 = 5 bulunur. Cevap A seçeneğidir.


Örnek 2: Bir altıgenin iç açıları toplamı kaç derecedir?

A) 360

B) 480

C) 540

D) 600

E) 720

Çözüm: Toplam derece (n – 2).180 formülüyle bulunur. n = 6 olduğuna göre 4.180 = 720 bulunur. Cevap E seçeneğidir.


Örnek 3: Bir düzgün ongenin bir dış açısı kaç derecedir?

A) 18

B) 36

C) 54

D) 60

E) 72

Çözüm: Bütün çokgenler gibi ongen de 360 derece dış açıya sahiptir. Düzgün olduğu için dış açıları eşit olacaktır. Öyleyse her biri 360/10 = 36° olur. Cevap B seçeneğidir.


Örnek 4: Düzgün onsekizgenin bir iç açısı kaç derecedir?

A) 100

B) 110

C) 130

D) 150

E) 160

Çözüm: Bu soruyu iki yöntemle çözebiliriz. (n – 2).180/n formülünü kullanırsak 16.180/18 = 160° bulunur. Ya da dış açı üzerinden gidersek bir dış açı ölçüsü 360/18 = 20° olacaktır. Bir iç açı ile dış açı tümler olacağından toplamları da 180° olacaktır. Öyleyse 180 – 20 = 160° bulunur. Cevap E seçeneğidir.


Buna benzer örnekleri çoğaltarak çokgenlerin formülleri hakkında daha fazla pratiği kendiniz de yapabilirsiniz.

Yorum YAZIN

E-posta hesabınız yayımlanmayacak. Gerekli alanlar * ile işaretlenmişlerdir

1 × five =