Cos2x Sin2x

Yarım açı formülleri trigonometride en çok kullanılan formüllerdendir. Eğer trigonometriyi iyi öğrenmek istiyorsanız bu formülleri mutlaka öğrenmeniz gerekir. Bu yazıda cos2x sin2x ifadelerinden bahsedecek yani yarım açı formüllerini vereceğiz.

Sin2x = 2.sinx.cosx

Cos2x = cos2x – sin2x

Bu iki formül trigonometride bilmemiz gereken en önemli formüllerdir. Cos2x ve sin2x formüllerinin birbirinden farklı olduğunu unutmamak gerekir.


Örnek: sin40/sin20.cos20 işleminin sonucu nedir?

Çözüm: Açılar arasında 2 kat oran olduğuna göre yarım açı formülü uygularız. Sin40 yerine 2.sin20.cos20 yazarsak soru şu hale dönüşür: 2.sin20.cos20/sin20.cos20 sadeleştirmeler yapılırsa trigonometrik ifadeler birbirini götürür ve cevap 2 olarak elde edilir.


Sin2x açılımı 1 tanedir ancak kitaplarınızda yer aldığı üzere cos2x açılımı 3 tanedir. Şimdi de bunların üzerinde duralım.

cos2x sin2x

Diğer Cos2x Açılımları

Cos2x için temel açılım yukarıda da verdiğimiz gibi cos2x = cos2x – sin2x açılımıdır. Şimdi bu açılımdan ihtiyacımız olan diğer açılımları da elde edelim.

Trigonometride çok hayati olan bir diğer eşitliğimiz sin2x + cos2x = 1 eşitliğidir. Bu eşitlik üzerinden sin2x ve cos2x ifadelerini tek tek yalnız bırakırsak elimizde şunlar ortaya çıkar.

  • sin2x = 1 – cos2x
  • cos2x = 1 – sin2x

Şimdi ilk açılım olan cos2x = cos2x – sin2x açılımında cos2x yerine 1 – sin2x yazılırsa cos2x = 1 – sin2x – sin2x elde edilir. Buradan da cos2x = 1 – 2sin2x eşitliği meydana gelecektir.

Yine aynı şekilde eşitlikte sin2x yerine yukarıda ifade ettiğimiz 1 – cos2x yazılırsa da cos2x = cos2x – (1 – cos2x) ifadesi elde edilir. Çıkarma işlemini yaparsak cos2x = 2cos2x – 1 elitliği ortaya çıkar.

Sin2x için 1 ve cos2x için 3 açılım da matematikte oldukça yaygın olarak kullanılmaktadır. Yukarıda cos2x ile ilgili olan diğer formülleri ispat ettik.

Önemli Sorular

Yukarıda öğrendiğimiz formülleri pekiştirmek için iki tane örnek soru çözelim.


Soru 1: 1 – cos2x ifadesi neye eşittir?

A) sin2x

B) 2sin2x

C) cos2x

D) 2cos2x

E) sinx+cosx

Çözüm: Burada 1 yerine sin2x + cos2x yazabiliriz. Yine cos2x yerine ise cos2x – sin2x yazalım. O zaman 1 – cos2x = sin2x + cos2x – (cos2x – sin2x) olur. Paranteze – işlemini dağıtırsak da 1 – cos2x = sin2x + cos2x – cos2x + sin2x =  2sin2x elde edilir. Cevap B seçeneğidir.


Soru 2: sin2x.cos2x ifadesi aşağıdakilerden hangisine eşittir?

A) sin22x

B) cos22x

C) (sin4x)/2

D) (cos4x)/2

E) sin2x – cos2x

Çözüm: sin2x = 2.sinx.cosx olduğuna göre aynı mantıklı sin4x için yarım açı formülü yazarsak da sin4x = 2.sin2x.cos2x olur. Öyleyse 2’yi karşıya bölü olarak atarsak (sin4x)/2 = sin2x.cos2x olur. Öyleyse cevap C seçeneği olacaktır.


Yukarıdaki örneklere benzer ne kadar soru çözerseniz ve yarım açı formülleri ile ilgili ne kadar çok ispat tekrarı yaparsanız konuyu o kadar öğrenirsiniz.

Yorum YAZIN

E-posta hesabınız yayımlanmayacak. Gerekli alanlar * ile işaretlenmişlerdir

3 × 1 =