Cos2x Sin2x
|Yarım açı formülleri trigonometride en çok kullanılan formüllerdendir. Eğer trigonometriyi iyi öğrenmek istiyorsanız bu formülleri mutlaka öğrenmeniz gerekir. Bu yazıda cos2x sin2x ifadelerinden bahsedecek yani yarım açı formüllerini vereceğiz.
Sin2x = 2.sinx.cosx
Cos2x = cos2x – sin2x
Bu iki formül trigonometride bilmemiz gereken en önemli formüllerdir. Cos2x ve sin2x formüllerinin birbirinden farklı olduğunu unutmamak gerekir.
Örnek: sin40/sin20.cos20 işleminin sonucu nedir?
Çözüm: Açılar arasında 2 kat oran olduğuna göre yarım açı formülü uygularız. Sin40 yerine 2.sin20.cos20 yazarsak soru şu hale dönüşür: 2.sin20.cos20/sin20.cos20 sadeleştirmeler yapılırsa trigonometrik ifadeler birbirini götürür ve cevap 2 olarak elde edilir.
Sin2x açılımı 1 tanedir ancak kitaplarınızda yer aldığı üzere cos2x açılımı 3 tanedir. Şimdi de bunların üzerinde duralım.
Diğer Cos2x Açılımları
Cos2x için temel açılım yukarıda da verdiğimiz gibi cos2x = cos2x – sin2x açılımıdır. Şimdi bu açılımdan ihtiyacımız olan diğer açılımları da elde edelim.
Trigonometride çok hayati olan bir diğer eşitliğimiz sin2x + cos2x = 1 eşitliğidir. Bu eşitlik üzerinden sin2x ve cos2x ifadelerini tek tek yalnız bırakırsak elimizde şunlar ortaya çıkar.
- sin2x = 1 – cos2x
- cos2x = 1 – sin2x
Şimdi ilk açılım olan cos2x = cos2x – sin2x açılımında cos2x yerine 1 – sin2x yazılırsa cos2x = 1 – sin2x – sin2x elde edilir. Buradan da cos2x = 1 – 2sin2x eşitliği meydana gelecektir.
Yine aynı şekilde eşitlikte sin2x yerine yukarıda ifade ettiğimiz 1 – cos2x yazılırsa da cos2x = cos2x – (1 – cos2x) ifadesi elde edilir. Çıkarma işlemini yaparsak cos2x = 2cos2x – 1 elitliği ortaya çıkar.
Sin2x için 1 ve cos2x için 3 açılım da matematikte oldukça yaygın olarak kullanılmaktadır. Yukarıda cos2x ile ilgili olan diğer formülleri ispat ettik.
Önemli Sorular
Yukarıda öğrendiğimiz formülleri pekiştirmek için iki tane örnek soru çözelim.
Soru 1: 1 – cos2x ifadesi neye eşittir?
A) sin2x
B) 2sin2x
C) cos2x
D) 2cos2x
E) sinx+cosx
Çözüm: Burada 1 yerine sin2x + cos2x yazabiliriz. Yine cos2x yerine ise cos2x – sin2x yazalım. O zaman 1 – cos2x = sin2x + cos2x – (cos2x – sin2x) olur. Paranteze – işlemini dağıtırsak da 1 – cos2x = sin2x + cos2x – cos2x + sin2x = 2sin2x elde edilir. Cevap B seçeneğidir.
Soru 2: sin2x.cos2x ifadesi aşağıdakilerden hangisine eşittir?
A) sin22x
B) cos22x
C) (sin4x)/2
D) (cos4x)/2
E) sin2x – cos2x
Çözüm: sin2x = 2.sinx.cosx olduğuna göre aynı mantıklı sin4x için yarım açı formülü yazarsak da sin4x = 2.sin2x.cos2x olur. Öyleyse 2’yi karşıya bölü olarak atarsak (sin4x)/2 = sin2x.cos2x olur. Öyleyse cevap C seçeneği olacaktır.
Yukarıdaki örneklere benzer ne kadar soru çözerseniz ve yarım açı formülleri ile ilgili ne kadar çok ispat tekrarı yaparsanız konuyu o kadar öğrenirsiniz.