Eşkenar Üçgen Alanı

Eşkenar üçgen düzgün bir çokgen olduğu için geometrinin neredeyse her konusunda karşımıza çıkmaktadır. Bu yazıda eşkenar üçgen için alan formülünü paylaşacak, ardından da eşkenar üçgenin genel özellikleri üzerinde duracağız.

Üç kenar uzunluğu da eşit olan üçgene eşkenar üçgen denmektedir. Kenar uzunluklarının aynı olması açılarının da aynı olmasıyla sonuçlanmaktadır. Doğal olarak karşımıza kusursuz bir simetri çıkmaktadır.

Eşkenar üçgende her bir kenar uzunluğuna a dersek eşkenar üçgenin alanı A = a².√3 / 4 formülüyle bulunur.

Eşkenar Üçgen Yükseklik ve Alanı

Eşkenar üçgen alan soruları formülle değil de çoğunlukla yükseklik indirilerek çözülür. Eşkenar üçgende bütün açılar ve bütün kenarlar aynı olduğu için herhangi bir köşede indirilen yükseklik hem açıyortay, hem kenarortay hem de yükseklik özelliği gösterir. Eşkenar üçgen aynı zamanda ikizkenar üçgende görülen özelliklerin de tamamını gösterir.

Eşkenar üçgeni bir dikmeyle ikiye böldüğümüzde iki adet eş 30 60 90 üçgeni elde edilmektedir. Bu üçgene göre hipotenüsün karşısındaki kenar 2 birim ise 30 derecenin karşısındaki kenar 1 birim ve 60 derecenin karşısındaki ise √3 birim olmaktadır.

Üçgende alanın temel formülü taban x yükseklik / 2 şeklindedir. Bunu eşkenar üçgene uyguladığımızda alan formülünü de elde ederiz.

Yukarıda belirttiğimiz gibi bütün açılar eş olduğu için yüksekliği nereden indirdiğimiz fark etmez. Eğer ikizkenar üçgen olsaydı yüksekliğin aynı zamanda açıortay ve kenarortay olabilmesi için eş uzunluktaki kenarların birleştiği köseden dikme indirmek zorunda olacaktık.

Eşkenar üçgenin alanı nasıl bulunur hem formülle hem de formülsüz öğrendik. Bunun dışında bilmemiz gereken çok fazla eşkenar üçgen formülü de bulunmuyor. Ancak yine de alanı bir yerden daha ispatlayabiliriz.

Sinüslü Alan Formülü

Sinüslü alan formülü bütün üçgenlerde kullanılabilen bir alan formülüdür. Özellikle çeşitkenar üçgenin alanı soruları bu formülle rahatlıkla çözülebilir. Burada önemli olan aradaki açının sinüs değerini bilmektedir.

Sinüslü alan formülüne göre iki kenar uzunluğu a ve b ise ve aradaki açıda α ise Alan = a.b.sinα / 2 olur.

Şimdi bunu eşkenar üçgene de aynen uygulayalım. Eşkenar üçgende kenar uzunlukları aynı ve aradaki açı da 60 olduğuna göre Alan = a.a.sin60 / 2 şeklinde bulunur. Sin60 = √3 / 2 olduğuna göre alan a.a.(√3 / 2) / 2 olarak bulunacaktır. Bunu da düzenlersek yine Alan = a².√3 / 4 formülü elde edilecektir.

Bu arada bilmeyenler için tekrar edelim. Eşkenar üçgenin çevresi üç kenar uzunluğunun toplamı kadardır. Yani Çevre = a + a + a = 3a olacaktır. Kenar uzunluğu 8 cm olan bir eşkenar üçgenin çevresi kaç cm dir? şeklinde bir soruyla karşılarsanız 3 x 8 = 24 cm şeklinde cevap vermeniz gerekir.

Araştırma sorusu: Düzgün altıgenin merkezini köşelerle birleştirirseniz 6 adet eşkenar üçgen elde edersiniz. Öyleyse kenar uzunluğu a birim olan bir düzgün altıgenin alan formülü nedir?