Gerçek Kök Nedir?

İkinci dereceden denklemlerde gerçek kök, gerçel kök ya da reel kök gibi kavramlara karşılaşmaktayız. Bunlar aslında aynı manaya gelen tabirlerdir. Bu yazıda ikinci dereceden denklemlerde gerçek kök nedir mantığıyla birlikte anlayacağız.

Bir denklemi sağlayan ve reel (gerçek) sayılar kümesinde yer alan değerlere gerçek kök veya reel kök denmektedir.

Bu durumda şunu belirtmemiz gerekiyor. Denklemde gerçek olmayan kökler de mi bulunuyor? Cevap: Evet bulunuyor. Bir denklemin kökleri bazen karmaşık sayılar kümesinde yer almaktır.

Örneğin x² + 4 = 0 denkleminin kökleri reel sayılarda yoktur. Çünkü denklemi çözmeye kalkarsak 4’ü karşıya atarsak x² = -4 bulunur. Hiçbir sayının da karekökü negatif olamayacağına göre reel sayılarda bu denklemin kökü yoktur.

Bu denklemin iki tane karmaşık sayılarda kökü vardır. Bunlar da -2i ve 2i şeklindedir.

Bir denklemin derecesi neyse o kadar kök bulunmaktadır. Eğer gerçek kök varsa mutlaka karmaşık sayılar kümesinde kökler bulunmaktadır. Kökler toplamı dediğimiz zaman gerçek kökleri değil biz bütün köklerin toplamını bulmaktayız.

İlgili yazı: İkinci dereceden denklemler

Kökler ve Delta İlişkisi

İkinci dereceden denklemlerde kökler ile delta yani diskriminant arasında ilişki olduğunu biliyoruz. Önce Δ nasıl bulunur onu görelim. Ardından bu ilişkiyi ortaya koyalım.

ax² + bx + c = 0 formundaki bir denklemde delta Δ = b² – 4ac ile bulunmaktadır.

Buna göre üç durum ortaya çıkabilir:

1. Δ > 0 ise iki farklı gerçek kökü vardır.
2. Δ = 0 ise çakışık iki kökü vardır. (Çift katlı kök aynı zamanda)
3. Δ < 0 ise gerçek sayılarda değil, kökler karmaşık sayılar kümesinde yer alır.

Örneğin x² + 2x + 8 = 0 denkleminde Δ < 0 şeklindedir. Bu nedenle bu denklemin kökler karmaşık sayılarda yer alır.

Örneğin x² + 2x – 4 = 0 denkleminin kökleri reel yani gerçek köklerdir. Çünkü Δ > 0 şartı sağlanmaktadır.

Çift Katlı ve Simetrik Kök Nedir?

Gerçel (gerçek) kök nedir öğrendik. Gerçek köklerde bazen çift katlı kök veya simetrik kök gibi kavramlar karşımıza çıkmaktadır. Bunların da ne olduğunu bilirsek çok faydasını görürüz.

Çift Katlı Kök Nedir?

Eşit iki kök veya çakışık iki kök ya da çift katlı kök aynı kavramlardır. Bu durumda Δ = 0 olur. Tam kare ifadelerde bu durum görülmektedir.

Örneğin x² + 4x + 4 = 0 denklemini (x + 2)² veya (x + 2).(x + 2) = 0 şeklinde çarpanlara ayrılır. Bu denklemi sağlayan değerler -2 ve yine -2’dir. Yani -2 denklemi iki defa sağladığı için -2’ye çift katlı kök ya da çakışık kök denebilir. Örneğin

Simetrik İki Kök Ne Demek?

İkinci dereceden bir denklemde simetrik iki kök varsa bu köklerin toplamı 0’dır. Örneğin bir denklemin kökleri 2 ve -2 şeklindeyse bu iki kök simetriktir. Bu nedenle bunların toplamı da sıfır olacaktır.

Simetrik kökü olan ikinci dereceden denklemlerin grafiklerini çizdiğiniz zaman grafiğin y eksine göre simetrik bir görüntü oluşturduğunu da görebilirsiniz.

Kökler toplamı -b/a formülüyle bulunur. Kökler toplamı 0 ise o zaman b’nin de 0 olması gerekir. Dolayısıyla simetrik iki kökü olan denklemler x² – 4 = 0, x² – 9 = 0, x² – 25 =0 türündeki denklemlerdir.