İki Kare Farkı Soruları ve Çözümleri

Matematikte en çok kullanılan özdeşlik iki kare farkı özdeşliğidir. Basit bir formülü olan bu özdeşliğin sadece formülünü ezbere bilmek yeterli olmayacaktır. Bununla birlikte bol miktarda örnek soru çözerek konuyu ve işlem kabiliyetimizi pekiştirmemiz gerekir. İki kare farkı özdeşliğinden yararlanarak çarpanlara ayırma yapmak çok önemlidir. Ayrıca türev ve integral dahil olmak üzere bütün matematik konularında bu özdeşliği kullanırız.

Daha önce iki kare farkı adlı yazıda bu özdeşliğin genel formülünü vermiştik. Basit olduğu için burada kısaca tekrar edelim:

Size basit gelen bu özdeşlik formülünü matematiğin her konusunda kullanacağımızı unutmayınız. 8. sınıf müfredatından itibaren bu konunun önemi sürekli artmaktadır.

İki Kare Farkı Soruları Nasıl Çözülür?

Örnek sorulara geçmeden önce iki kare farkı soruları nasıl çözülür kısaca değinelim. Öncelikle formülü çok iyi öğrenecek ve karıştırmayacaksınız. Bunun için iki kare farkı formülü ispatı ile birlikte bilinirse faydalı olabilir.

İki kare farkı ispatı parantez çarpım yapılarak elde edilebilir. (x – y).(x + y) çarpımını elemanları tek tek çarparak yapalım. x² + xy – xy -y² şeklinde olduğunu görürüz. Burada xy ve -xy ifadelerinin toplamı 0’dır. Dolayısıyla (x – y).(x + y) = x² -y² olacaktır.

İki kare farkı sorularını çözebilmek için tam kare farkı formülü ve iki küp farkı ve toplamı gibi diğer özdeşlikler de iyi bilinmelidir. Çünkü çarpanlara ayırma konusunda bütün özdeşlikler iç içe geçmiş şekilde farklı sorular sorulmaktadır.

Son olarak iki sayının farkının karesi ile iki sayının karelerinin farkının birbirinden farklı iki kavram olduğunu hatırlatalım ve örnek sorularımıza geçelim.

İki Kare Farkı Örnek Soruları ve Çözümleri

Şimdi de iki kare farkı ile ilgili sorular ve çözümleri üzerinde duralım:

Soru #1: İki rasyonel sayının farkları 4, toplamları da 32’dir. Bu sayıların karelerinin farkı kaçtır?

A) 4

B) 16

C) 36

D) 100

E) 128

Çözüm: Soru iki yöntemle çözülebilir. Sayıların farkı ve toplamı biliniyorsa denklemlerden bu sayıların kaç olduğunu bulup buna göre işlem yapabiliriz. Bir de iki kare farkı yöntemiyle çözebiliriz. Sayılardan birine a, diğerine b dersek (a – b) = 4 ve (a + b) = 32 bulunur. İki kare farkı eşitliğinden zaten bu değerlerinin çarpımının a² – b² olduğunu biliyoruz. Öyleyse cevap 4.32 = 128 bulunur. Cevap E olur.

---

Soru #2: (a – 2).(a + 2) ifadesi neye eşittir?

A) a + 4

B) a² + 4

C) a² – 4

D) 2a

E) 3a

Çözüm: Yukarıda verdiğimiz eşitliği anladıysanız bu soruyu rahatlıkla çözersiniz. İki sayının çarpı iki sayının karelerinin farkı demektir. Öyleyse cevap a² – 4 şeklinde C seçeneğidir.

---

Soru #3: k = √5 + 3 ve l = √5 – 3 şeklinde verildiğine göre k.l çarpımının değeri kaçtır?

A) -4

B) -2

C) 2

D) 5

E) 9

Çözüm: k.l çarpımı (√5 + 3).(√5 – 3) şeklindedir. Soruda iki kare farkı net bir şekilde görülmektedir.  Öyleyse birincinin karesinden ikincinin karesini çıkarmak durumunda kalacağız. (√5)² – 3² = -4 bulunacaktır. Cevap A seçeneğidir.

---

Soru #4: 64p² – 4q² ifadesini çarpanlara ayırırsak elde ettiğimiz çarpım aşağıdakilerden hangisidir?

A) 2p + 2q

B) (2p – 2q).(8p + 4q)

C) (8p – 2q).(8p + 2q)

D) (8p – 2q).(2p – 8q)

E) (8p – 2q).(2p + 8q)

Çözüm: Soruda yine iki kare farkı sorulmaktadır. Eğer iki ifadede de kare varsa neyin karesi olduğuna bakmamız gerekir.  64p² ifadesi (8p)’nin, 4q² ise (2q)’nin karesidir. Buna göre açılım yaparsak (8p – 2q).(8p + 2q) ifadesini elde ederiz. Doğru yanıt C seçeneğidir.

---

Soru #5: A² – B² = 80 ve A + B = 8 olduğuna göre A – B ifadesinin eşiti aşağıdakilerden hangisidir?

A) 4

B) 6

C) 8

D) 10

E) 12

Çözüm: A² – B² = (A + B).(A – B) olarak yazabiliriz. Burada 80 = 8.(A – B) olduğuna göre A – B = 10 bulunur. Doğru yanıt D seçeneğidir.