İki Kare Farkı

Matematikte işlem yaparken çarpanlara ayırma yapabilmek çok önemlidir. Matematiksel özdeşlikler çarpanlara ayırmada ve pratik işlem yapmada bize büyük kolaylık yapar. İki kare farkı bu özdeşliklerin başında gelmektedir. Eğer matematiğinizi başlangıç seviyesinden ileri götürmek istiyorsanız iki kare farkını mutlaka bilmeniz gerekir.

Formül basit gelebilir ancak çok kullanışlıdır. Formülü bilmekten çok sorularda pratik olarak kullanabilmek önemlidir. Bu nedenle çok fazla örnek soru çözmek gereklidir.

İlgili yazı: Küp açılımı

İki Kare Farkı ile İlgili Örnekler

Birkaç örnek yaparak konuyu ve eşitliği daha iyi öğrenmeye çalışalım.

Soru: İki sayının karelerinin farkı 10, toplamları ise 5’tir. Buna göre bu sayıların farkı kaçtır?

Çözüm: Eşitlikte iki sayının karelerinin farkı, sayıların farkları ile toplamlarının çarpımı olduğunu görmekteyiz. Öyleyse 10 = 5.2 olduğundan bu sayıların farkı 2 olacaktır.

Soru: a ve b birer doğal sayı olmak üzere a² – b² = 11 ise a.b kaçtır?

A) 1

B) 11

C) 22

D) 30

E) 40

Çözüm: Bu iki sayı da doğal sayı ise bu sayıların farkları ve toplamları da tam sayı olmak zorundadır. 11 asal sayı olduğuna göre çarpanları da 1 ve 11’dir. a² – b² = (a + b).(a – b) olduğuna göre (a + b)  = 11 ve (a – b) = 1 olacaktır.

Taraf tarafa toplarsak -b ve +b ifadeleri birbirini götürecek ve 2a = 11 + 1 = 12 olacaktır. Bu durumda a = 6 olur. Yerine koyarsak a – b = 1 olduğuna göre a 6 ise b de 5 olacaktır. Bu durumda a.b = 6.5 = 30 bulunur. Cevap D seçeneğidir.

Soru:  (x – 4).(x + 4) işleminin sonucu aşağıdakilerden hangisidir?

A) x² – 4

B) x² – 16

C) x² + 16

D) x² + 4

E) x³ + 4

Çözüm: Yukarıdaki işlem iki kare farkı özdeşliğidir. Bu da birincinin karesi – ikincinin karesi demektir. Bu durumda cevap x² – 4² = x² – 16 olacaktır.

İki  Kare Farkı İçin Modelleme ve İspat

Konuyu iyi anlamak için görsel modelleme ile ispat yapalım. Ardından da normal cebirsel çarpımla ispat yaparak pekiştirelim.

Yukarıdaki görselde karenin alanı kullanılarak iki kare fiyatı görsel olarak ispatlanmıştır. Her kenarı a birim olan karenin alanı a²‘dir. Bunun içerisinden her bir kenarı b olan küçük bir kare çıkardığımızda kalan alan doğal olarak a² – b² olacaktır.

Kalan şekli de ikiye bölersek iki adet dik  yamuk çıkmaktadır. Yamuk için alan hesaplarken iki paralel kenarın uzunluğunu toplayıp ikiye böleriz ardından da yükseklikle çarparız. Bu durumda her yamuğun alanın (a – b).(a + b) / 2 olacaktır. İki yamuğun alanını toplarsak (a – b).(a + b) elde ederiz. Bu da a² – b² ye eşit olacaktır.

Cebirsel İspat

İki kare farkını parantez çarpım yaparak da ispatlarız. Her seferinde bu işlemlerin tamamını yapmamak için bu eşitliği ezbere kullanmaktayız.

(x – y).(x + y) parantez çarpımı yaparsak x² + xy – yx + y² olmaktadır. Burada +xy ve -yx birbirini götüreceğinden x² – y² kalacaktır.

Eğer eşitliği unutsanız parantez üzerine dağıtma yaparak da sonuca ulaşabilirsiniz. Ancak çok örnek çözdüğünüzde eliniz zaten hızlanacaktır.

Parantez Kare

İki kare farkıyla ilgili en çok karıştırılan meselelerden biri parantez karedir. Şunu unutmamak gerekir ki iki sayının karelerinin farkı ile bu sayıların farkının karesi aynı şey değildir.

Biz yukarıda iki sayının karesinin farkı üzerinde durduk. İki sayının farkının karesi ise parantez içerisine alınarak ifade edilen işlemdir. Bu ikisinin farklı olduğuna dikkat etmek gerekir.

Yani x² – y² ile (x – y)² farklıdır. Örneğin 3 ve 2’nin farklarının karesi 1 iken, karelerinin farkı 9  – 4 = 5 olacaktır.

(x – y)² = x² + y² – 2xy olacaktır.

Yeri gelmişken iki küp farkını da verelim. x³ – y³ = (x – y).(x² + xy + y²) olacaktır. Bu eşitliği de matematikte sık kullanırız.