İki Kare Toplamı

İki kare toplamı özdeşliği çarpanlara ayırma konusunda bize yardımcı olan eşitliklerden biridir. Çarpanlara ayırma konusu matematiğin en önemli konusudur. Çünkü matematikte hemen hemen her konu içerisinde çarpanlara ayırma vardır. Çarpanlara ayırma bir konu olmanın ötesinde matematikte işlem yapabilme kabiliyetidir.

Daha önceki yazılarımızın bir tanesinde iki kare farkı üzerinde durduk. Gerçekten de iki kare farkı çok aşırı önemli bir özdeşliktir. Burada iki kare toplamı üzerinde duracağız. Ancak iki kare toplamını anlayabilmek için tam kare açılımını bilmemiz gerekir. Önce tam iki kare toplamı ile ilgili özdeşliği verelim. Ardından da mantığı ve ispatı üzerinde duralım.

• İki kare toplamı: a² + b² = (a + b)² – 2.a.b = (a – b)² + 2.a.b
• Tam kare toplamı: (a + b)² = a² + b² + 2.a.b
• İki kare farkı: a² – b² = (a – b).(a + b)

Konuyu iyi bilmeyen biri için iki kare toplamı ve tam kare toplamı özdeşlikleri karışabilir. Ancak arada çok önemli bir parantez meselesi vardır. İki sayının toplamını parantez kare olarak almak ile iki sayının karelerini toplamak aynı şey değildir.

Yani a² + b² ile (a + b)² farklı eşitliklerdir. İlki iki kare toplamıyken ikincisi tam kare toplamıdır. Yukarıda tam kare açılımı da verilmiştir. Böylelikle tam kareden iki kare toplamı nasıl elde edilir bulabiliriz.

Parantez Kare ve İki Kare Toplamı

İki kare toplamı eşitliği tam kare farkı veya tam kare toplamıyla elde edilebilir. Tam kare toplamı eşitliği yukarıda da verildiği gibi şu şekildedir:

(a + b)² = a² + b² + 2.a.b

Şimdi bu eşitlikte 2ab ifadesini sola atalım. Bu durumda sağda sadece a² + b² ifadesi kalacaktır. Yani eşitlik şu şekilde olacaktır:

(a + b)² – 2.a.b =  a² + b² 

Aynı şekilde tam kare farkıyla da bunu elde edebiliriz. Yine farkın parantez karesi olduğunu unutmamamız gerekir. Tam kare farkı eşitliği şu şekildedir:

(a – b)² = a² + b² – 2.a.b

Yine aynı şekilde 2.a.b kısmını işaret değiştirip karşı tarafa atarsak;

(a – b)² + 2ab = a² + b² elde edilecektir.

İki Kare Toplamı Örnekler

Genel olarak özdeşliği öğrendik. Ancak bu tür özdeşliklerin öğrenilmesinden çok pratik yapılması önemlidir. Çünkü matematikte formülleri oturtmak için bol miktarda örnek soru çözmek gerekir. İki kare toplamıyla ilgili aşağıdaki birkaç örneği çözerek bu pratiği yerine getirebiliriz.

Örnek 1: x ve y gerçel sayılar olmak üzere; x + y = 12 ve x.y = 15 toplam ve çarpımlar ifade edilmiştir. Bu bilgilere göre x² + y² toplamının değeri nedir?

A) 77

B) 84

C) 96

D) 104

E) 114

Çözüm: Soruyu çözmek için verilen toplamın parantez karesini alalım. Yukarıda belirttiğimiz gibi kare toplamlarını parantez karelerden çıkarmak çok kolaydır. Toplamın karesini alırsak (x + y)² = 12² = 144 olur. Bulduğumuz ifadeden 2ab çarpımını çıkaralım. 2.15 = 30 ettiği için x² + y² = 144 – 30 = 114 edecektir. Bu durumda cevap E olur.

---

Örnek 2: İki reel sayının farkı 5 ve karelerinin farkı 75’dir. Buna bilgilerle sayıların karelerinin toplamı kaç bulunur?

A) 115

B) 120

C) 125

D) 130

E) 132

Çözüm: İki sayıyı a ve b harfleriyle gösterelim. a – b = 5 ve a² – b² = 120 olacaktır. İki kare farkı özdeşliğinden a² – b² = (a – b).(a + b) eşitliğini zaten biliyoruz. Bu durumda 75 =5.(a + b) olacaktır. Buradan da a + b = 15 bulunur.

Şimdi de bulduğumuz iki eşitliği kullanarak a ve b sayılarını elde edelim. a – b = 5 ve a + b = 15 denklemlerini toplarsak 2a = 20 elde edilir. Buradan a = 10 olur. Eşitliklerin sağlanması için ise b’nin 5 olması gerekecektir. Öyleyse bu sayıların karelerini toplarsak 100 + 5 = 125 bulunur. Cevap C seçeneğidir.

---

Örnek 3: İki sayının toplamlarının karesiyle, karelerinin toplamı arasında 20 fark vardır. Buna göre bu sayıların çarpımı kaçtır?

A) 10

B) 15

C) 20

D) 50

E) 100

Çözüm: Soruda bize doğrudan formülün çıkış noktası sorulmaktadır. İki sayının toplamlarının karesi parantez kare şeklindedir. Parantez kareden 2.a.b çıkardığımızda iki kare toplamını elde ederiz. Bunu zaten yukarıda gösterdik. Yani 2.a.b bize verilen bilgiler doğrultusunda 20’dir. Öyleyse a.b çarpımı 10 olacaktır. Doğru yanıt A seçeneğidir.