İki Küp Toplamı ve Farkı

Matematikte işlem yaparken birçok özdeşlik kullanırız. İki küp toplamı ve iki küp farkı bu özdeşliklerden ikisidir. Küp toplamı ve farkı formülü bilinirse birçok soru tipinde daha kolay sonuca ulaşırız. Özellikle çarpanlara ayırma konusunda bu formüller işimize çok yaratacaktır.

İki küp formülü derken iki sayının küpünün toplamını kast ettiğimizi unutmamalıyız. Çünkü sayıları toplayıp sonra küpünü aldığımız parantez küp işlemi daha farklıdır.

a3 + b3 = (a + b).(a2 – ab + b2)

a3 – b3 = (a – b).(a2 + ab + b2)

Yukarıdaki küp toplamı ve küp farkı formülü konuyu özetler niteliktedir. Aynı formülde işaret değiştirdiğinde işaretin farklı olduğuna dikkat ediniz. Bu formülü ezberlemek için şu hatırlatmayı kullanabilirsiniz.

Eğer aradaki işaret + ise ilk parantez + olur. Sonra ikinci parantezde sayıların çarpımı – olur. Eğer aradaki işaret – ise ilk parantez – olur. Sonra ikinci ifadede sayıların çarpımının başında + olacaktır. Bunun dışında formüllerin genel taslağı aynıdır.

Daha önce iki kare toplamı yazısında iki kare toplamını anlatmıştık. İki küp toplamı ve farkı da en az bu konu kadar önemlidir.

Parantez Küp Açılımı

Parantez küp açılımı iki küp toplamından farklıdır. Çünkü birinde sayıların küpü toplanırken parantez küpte iki sayının toplamının küpü alınmaktadır. Sayıların toplamının ve farkının küpü aşağıdaki formüllerde gösterilmiştir.

(a + b)3 = a3 + 4a2b + 4ab2 + b3

(a + b)3 = a3 + 4a2b + 4ab2 + b3

Dikkat edilirse formülde a’nın kuvvetleri küçülürken b’nin kuvvetleri artmaktadır. Binom açılımı konusunu bilirseniz bu formülleri anlamak sizin için daha kolay olacaktır.

Yukarıdaki formüller öğrenildiğinde çarpanlara ayırma sorularında ilerlediğinizi hissedersiniz. Ancak formülleri ezberlemek yeterli değildir. Çünkü testlerde küp açılımı ile ilgili zor soruları görebilirsiniz. Ancak yeterince örnek çözdüğünüz zaman bu soruların dahi kolay geldiğini göreceksiniz.

Küp Toplamı ve Farkıyla İlgili Örnek Sorular

Birkaç tane örnek soru çözerek küp toplamı formülü hakkındaki bilgimizi pekiştirelim.

Soru 1: a – b = 5, a.b = 15 eşitlikleri verilmiştir. Buna göre a3 – b3 ifadesinin değeri kaçtır?

Çözüm: a3 – b3 ifadesini açalım. a3 – b3 = (a – b).(a2 + ab + b2) şeklindedir. Burada a – b ve a.b ifadelerinin değerini zaten biliyoruz. a2 + b2 ifadesi için de (a – b) ifadesinin karesini alalım.

(a – b)2 = a2 + b2 – 2ab formülünü biliyoruz. Buna göre 52 = 25= a2 + b2 – 2.15 olur. Buradan da a2 + b2 = 55 olacaktır. Şimdi bildiklerimizi yerine yerleştirelim: a3 – b3 = (a – b).(a2 + ab + b2) = 5.(55 + 15) = 5.70 = 350 bulunur.

Soru 2: x3 – 27y3 ifadesinin eşitini bulalım.

Çözüm: Soruyu çözmek için iki küp farkı formatına çevirelim. Bunun için x3 – 27y3 ifadesini (x)3 – (3y)3 şeklinde yazarız. Bu durumda özdeşliği yazarsak (x – 3m). (x2 + 3xy + 9m2) bulunur.

Yorum YAZIN

E-posta hesabınız yayımlanmayacak. Gerekli alanlar * ile işaretlenmişlerdir

eight + eighteen =