İkinci Dereceden Denklemler

Denklem kurmak ve çözmek, matematik becerisinin temelidir. Bu yazıda matematik müfredatının çok önemli bir konusu olan ikinci dereceden denklemler üzerinde duracağız. Konuyu basit ve detaylı anlatacağımız için dikkatli takip ederseniz çok iyi anlayacağınızdan eminiz.

Öncelikle ikinci dereceden denklem nedir onu görelim. En büyük dereceli terimin derecesi 2 olan denklemlere ikinci dereceden denklem denir.

İkinci dereceden denklemlerin genel ifadesi ax2 + bx + c = 0 şeklindedir.

Burada a, b ve c denklemin kat sayıları, x ise bilinmeyen ifadedir. Bilinmeyen tek olduğu zaman bu tür denklemlere ikinci dereceden bir bilinmeyenli denklem denir. Bu konuda bir bilinmeyenli denklemler üzerinde duracağız. Müfredatımızın gereği de budur.

İkinci dereceden denklemler

İkinci dereceden denklemler konusunda genellikle sorular kök bulma üzerinedir.

Denklemin kökünü bulmak, denklemin çözüm kümesini bulmak veya denklemi sağlayan x değerini bulmak aynı şeylerdir.

Eğer basit düzeyde denklem çözmeyle alakalı sorun yaşıyorsanız birinci dereceden denklemler konu anlatımı kısmına bakmanızı öneririz.

İkinci Dereceden Denklemlerde Kök Bulma

Birinci dereceden denklemin 1  kökü vardır. İkinci dereceden denklemin ise 2 kökü vardır. Yani denklemi sağlayan 2 değer bulunur.

Örneğin x2 – 4 = 0 denkleminin köklerini düşünelim. x2‘yi yalnız bırakmak istersek -4’ü öbür tarafa göndeririz. Burada x2 = 4 olur. Eşitlikte x yerine 2 veya -2 yazarsak her iki değer de denklemi sağlar. O zaman bu denklemin kökleri -2 ve 2 şeklinde 2 tane olur.

x2 – 4 = 0 denklemini ele alırsak bu denklemde kat sayılardan a = 1, b = 0 ve c = -4 olmaktadır. (Denklemde bx kısmı olmadığı için b = 0 olmaktadır.)

Şimdi bu basit denklemi çözebildik. Ancak sorular karmaşık hale geldikçe çözümler de zorlaşacaktır.

Çarpanlarına Ayırma Yöntemi

Çarpanlara ayırmayı bilmeden denklemleri ikinci dereceden denklemleri de çözemeyiz. Çarpanlara ayırma konu anlatımı kısmında basit düzeyde konuyu anlatmıştık. Denklem çarpanlarına ayrılabiliyorsa ayırmalıyız. Ayırınca zaten çözüm kendiliğinden çıkar.

Aynı örnekten devam edersek x2 – 4 = 0 denklemi iki kare farkı özdeşliği ile çarpanlarına ayrılabilir. (x – 2).(x + 2) = 0 olur. Burada herhangi iki parantezden birinin 0 olması demek denklemin sağlanması demektir.

Örneğin ilk parantezi sıfırlamak için x = 2 yazarsak denklem sağlanır. Öyleyse 2 bir köktür. İkinci parantezi sıfırlamak için ise x yerine -2 yazalım. Bu durumda da denklem sağlanır. Bu yöntemle de denklemin kökleri bulunabilmektedir.


Soru #1: x2 + 3x + 2 = 0 denkleminin çözüm kümesini bulunuz.

Çözüm: Denklemi çarpanlarına ayıralım. Denklemi çarpanlarına ayırmak için çarpımı c, toplamı b olan sayıları bulmak gerekir. Bu denklemi ax2 + bx + c şeklinde yazdığımıza göre c = 2, b = 3 olur. Çarpımları 2, toplamı 3 olan iki sayı 2 ve 1 şeklindedir. Öyleyse denklem çarpanlarına şöyle ayrılır:

(x + 2).(x + 1) = 0 olur. Bu denklemin sağlanması için de x = -2 ve x = -1 olur. Bu değerler denklemin kökleri veya başka bir deyişle çözüm kümesidir.


Bazı soruların bu şekilde çarpanlara ayrılması mümkün değildir. O sorularda da birazdan öğreneceğimiz başka bir yöntemi uygulayacağız.

Bir örnek daha yapalım.


Soru #2: x2 + 5x – 6 = 0 denkleminin köklerini bulalım.

Çözüm: Aynı şekilde çarpanlara ayıralım. Çarpımları -6 olan ve toplamları +5 olan iki sayı düşünelim. Bunlar 6 ve -1 olur. Öyleyse denklem (x + 6).(x – 1) = 0 olur. Buradan da x = -6 ve x = 1 bulunur.


Çözüm kümesi bulunduğunda sağlama yapmak için bu değerler denkleme yazılabilir. Cevap doğruysa değerler denklemin eşitliğini sağlar.

Denklemin Reel Kökü Yoksa?

Bazen denklemin köklerini bulmakta zorluk çekebilirsiniz. İkinci dereceden bir denklemin iki kökü vardır dedik. Öyleyse x2 + 4 = 0 denkleminin kökünü bulalım.

x2 + 4 = 0 ⇒ x2 = -4 olur. Hiçbir reel sayının karesi negatif olamayacağına göre bu denklemin reel sayılarda kökü yoktur diyebiliriz. Ancak bu denklemin karmaşık sayılarda yine 2 adet kökü vardır. Burada bu konunun detaylarına girmeyeceğiz. Bizim için önemli olan reel köklerdir.

Denklemin reel kökü olup olmadığına diskriminant (Δ) ile karar verilir. Diskriminant delta (Δ) sembolüyle gösterilir. Her denklemin bir diskriminantı bulunur.

Diskrimant Δ = b2 – 4ac ile bulunur.

İkinci dereceden bir denklemin diskriminantı için 3 durum söz konusudur.

  • Δ < 0 ⇒ Denklemin reel sayılarda kökü yoktur.
  • Δ = 0 ⇒ Denklemin çift katlı (eşit) iki kökü vardır.
  • Δ > 0 ⇒ Denklemin birbirinden farklı iki kökü vardır.

Soru #3: 2x2 – 3x + 4 = 0 denkleminin reel kökü olup olmadığını bulalım.

Çözüm: Denklemin deltasını bulmamız gerekir. Denklemde a = 2, b = -3 ve c = 4 şeklindedir. Burada b2 – 4ac uygularsak (-3)2 – 4.2.4 = 9 – 32 = -23 bulunur. Δ < 0 olduğu için denklemin reel sayılarda kökü yoktur.


Diskriminant ile Kök Bulma

Yukarıda belirttiğimiz gibi bazı ifadelerin çarpanlara ayrılması zordur. Bu tür ifadelerle en garanti yol diskriminant kullanarak kök bulmaktır. İkinci dereceden bir denklemin iki köküne x1 ve x2 dersek bu kökleri şöyle bulabiliriz:

x1 = (-b + √Δ) / 2a ve x2 = (-b – √Δ) / 2a şeklindedir.

Soru #4: x2 + 7x + 12 denkleminin köklerini bulalım.

Çözüm: Bu ifade çarpanlarına ayrılabilir bir ifadedir. Ancak diskriminant yöntemini öğrenmek için bu soruda diskriminant ile kök bulma formülünü uygulayalım.

Δ = b2 – 4ac = 49 – 4.12.12 = 1 bulunur. x1 = -b + √Δ / 2a = (-7 + 1) / 2 = -3, x2 = -b – √Δ / 2a = (-7 – 1) / 2 = -4 bulunur. Çözüme çarpanlarına ayırarak da ulaşabilirsiniz.


Kökler Toplamı ve Kökler Çarpımı Formülleri

İkinci dereceden denklemlerde en çok sorulan soru tipi kökler toplamı ve kökler çarpımı formülleriyle ilgilidir. Aşağıda verdiğimiz formüllerden sonra formülleri uygulamak için yukarıda şimdiye kadar çözdüğümüz soruların kökler toplamı ve kökler çarpımını bulmayı deneyin.

Kökler toplamı x1 + x2 = -b / a kökler çarpımı ise x1 ve x2 = c / a ile bulunur.

Soru #5: 4x2 – 4x + 6 = 0 denkleminin kökler toplamı ve kökler çarpımını bulunuz.

Çözüm: Kökler toplamı için iki kökü bulup toplamaya gerek yoktur. Formülü uygulamak gerekir. Denklemde a = 4, b = -4 ve c = 6 şeklindedir. Kökler toplamı -b / a = -(-4) / 4 = 1 bulunur. Kökler çarpımı ise c / a = 6 / 4 = 3 / 2 bulunur.


Soru #6: Reel kökü olmayan bir ikinci dereceden denklemin kökler toplamı ve kökler çarpımı bulunabilir mi?

Çözüm: Evet bulunabilir. Bir önceki denklemde diskriminantı bulursanız sıfırdan küçük (Δ < 0) olduğunu görürsünüz. Yani reel kökler yoktur. Ancak reel olmayan kökler olduğu için kökler toplamı ve kökler çarpımı bulunabilmektedir.


Artık çok karşımıza çıkmamakla birlikte eğer merak ederseniz kökler farkı formülü de bulunmaktadır.  x1 + x2 =√Δ / |a| ile bulunur.

İkinci dereceden denklem formülleri

Çift Katlı Kök Ne Demek?

İkinci dereceden denklemlerin 2 kökü olduğunu söyledik. Bu kökler reel kök olduğu gibi reel olmayan kök de olabilir.

Bazı sorularda 2 kök için de tek değer bulunur. Bu durumda bir değer 2 kez aynı denklemi sağlar. Bu tür denklemlerin çift katlı kökü vardır. Çift katlı kök yerine “eşit iki kök” veya “çakışık iki kök” tabirleri de kullanılabilir.

Örneğin (x – 3).(x – 3) = 0 eşitliğini her iki parantez 0 olduğuna sağlayabiliriz. Bu durumda denklemin her iki kökü de 3 olur. Denklemi açtığımız zaman x2 – 6x + 9 = 0 şeklinde ifade edilir. Burada 3 çift katlı kök olmaktadır.

Dilerseniz bu denklemin diskriminantını hesaplayabilirsiniz. Δ = 0 olduğunu göreceksiniz. Bu ifadelere aynı zamanda tam kare ifade de denir. Çünkü denklemi (x – 3)2 = 0 şeklinde de ifade edebiliriz.

Kökleri Bilinen İkinci Dereceden Bir Denklemin Yazılması

Bazen denklemin köklerini veya kökler toplamını biliriz. Bizden bunun denklemini elde etmemiz istenir. Bu durumda tersten gitmemiz gerekir.

Kökleri x1 ve x2 olan bir ikinci dereceden denklemi (x – x1).(x – x2) = 0 olarak ifade edebiliriz. Ardından da parantez açılarak denklem elde edilebilir.

Soru #7:  Kökleri 3 ve -2 olan ikinci dereceden bir denklemi ifade ediniz.

Çözüm: Yapacağımız şey çok basittir. (x – 3).(x + 2) = 0 şeklinde yazarız. Parantez çarpımı gerçekleştirirsek x2 -x -6 = 0 olarak elde edilir.


Örnek Test Soruları ve Çözümleri

İkinci dereceden denklemlerle ilgili temel bilgileri ve formülleri olabildiğince basit düzeyde aktardık. Bu bilgilerin pekiştirilmesi için bol miktarda soru çözmek gerekir. Burada bazı soru örnekleri çözerek bilgimizi pekiştirelim.


Soru #8: mx3 + nx2 + 4 = 0 bir ikinci dereceden denklem olduğuna göre m.n değeri kaçtır?

A) 0

B) 1

C) 2

D) 3

E) 4

Çözüm: İkinci dereceden bir denklemde x3‘lü bir ifade bulunamaz. En büyük dereceli terim x2 şeklindedir. Bu durumda bu denklemin ikinci dereceden olabilmesi için m = 0 olmalıdır. Soruda n değeri hakkında fikir yürütemeyiz ancak m = 0 olduğu için m.n = 0 olacaktır. Cevap A seçeneğidir.


Soru #9: x2 + 4x = 0 denkleminin kökler toplamı kaçtır?

A) 0

B) -2

C) -4

D) -6

E) -8

Çözüm: İki yöntemle de bulabiliriz. Birinci yöntem köklerini bulup toplamaktır. Bunun için çarpanlarına ayırmamız gerekir. Denklemi x parantezine alırsak x.(x + 4) = 0 olur. Bu denklemi sağlayan değerler 0 ve -4 olduğu için ikisini toplarsak -4 + 0 = -4 olur.

Ya da direk formülü uygularız. Kökler toplamı -b / a = -4 / 1 = -4 bulunur. Cevap C seçeneğidir.


Soru #10: 2x2 – 3x + 4 = 0 denkleminin iki kökü x1 ve x2 olmak üzere 1 / x1 + 1 / x2 toplamının değeri kaçtır.

A) 1/4

B) 1/2

C) 2/3

D) 3/4

E) 4/5

Çözüm: Bizden istenilen toplamı önce yapalım. 1 / x1 + 1 / x2 işlemini paylarını eşitleyerek yapalım. 1 / x1 + 1 / x2 =  (x1 + x2) / x1.x2 bulunur. Buna göre kökler toplamını kökler çarpımına bölmek gerekir. Kökler toplamı -b / a = 3 / 2 bulunur. Kökler çarpımı ise c / a = 4 / 2 = 2 bulunur. Buna göre yanıt (3 / 2) / 2 = 3 / 4 bulunur. Cevap D seçeneğidir.


Soru #11: Kökler toplamı -5, kökler çarpımı 10 olan ikinci dereceden bir denklem aşağıdakilerden hangisi olabilir?

A) x2 – 5x + 10 = 0

B) x2 – 10x + 5 = 0

C) 2x2 + 10x + 20 = 0

D) x2 + 10x – 10 = 0

E) x2 – 5x = 0

Çözüm: Soruda verilen bilgilere göre -b / a = -5 olmalıdır. Aynı zamanda c / a = 10 olmalıdır. Bu şartı sadece C seçeneğini sağlamaktadır. -10 / 2 = -5 ve 20 / 2 = 10 elde edilir. Doğru yanıt C seçeneği olacaktır.


Test kitaplarından benzer örnekler çözerek konuyla ilgili bilginizi arttırabilir ve pratiklik kazanabilirsiniz. Bu konuyu iyi öğrenmek parabol, türev ve integral konularını anlamak açısından da çok önemlidir.

Yorum YAZIN

E-posta hesabınız yayımlanmayacak. Gerekli alanlar * ile işaretlenmişlerdir

one × 5 =