Küp Açılımı

Küp açılımı matematiğin ve özellikle çarpanlara ayırmanın en önemli konularından biridir. Hem (a + b)³ hem de a³ + b³ şeklindeki açılımlara kısaca öğrenciler küp açılımı demektedir. Ancak iki kavram birbirinden tamamen farklıdır. Parantez küp almak ve ayrı ayrı küpleri toplamak  farklı sonuçlar vermektedir.

Bu yazıda küp toplamı formülü ve genel olarak küp açılımı ile ilgili bütün formülleri vereceğiz. Formülleri ezberlemek yetmeyecek (unutulabilir çünkü), bununla birlikte bol miktarda örnek çözülmeye dikkat edilecektir.

Şimdi de bu özdeşliklerin üzerinde kısaca duralım.

a küp artı b küp açılımı

Adından da anlaşılacağı gibi  a³ + b³ şeklindeki açılımdır. Yukarıda formülünü verdik zaten. Bu formül iki kare farkı formülünden sonra belki de matematikte en çok kullanılan formüldür. Hem iki kip toplamı hem de iki küp farkı formülleri aşağıdaki gibidir.

Sorularda a küp artı b küp açılımı genellikle kesirli sadeleştirme sorularında bol miktarda karşımıza çıkmaktadır. Buradaki en önemli nokta işaretlere dikkat etmektir.

İşlem toplama işlemiyse birinci parantezin + ve ikinci parantezin ortasının – olduğuna dikkat ediniz. Aynı şekilde işlem çıkarma işlemiyse de birinci parantez – ve ikinci parantezin ortası + olur.

Toplamın ve Farkın Küpü Formülü

Toplamın küpü ya da farkın küpü adından da anlaşılacağı gibi parantez küp alma işlemidir. Yani önce toplama veya çıkarma yapılmakta, çıkan sonucun küpü alınmaktadır.

Küp açılımı, 4. kuvvet açılımı, 5. kuvvet açılımı gibi konuların iyi anlaşılması için binom açılımını bilmek gerekir. Çünkü bu işlemlerin yapılmasında katsayılar binom açılımından gelmektedir.

Küp için katsayılar 1, 3, 3, 1 şeklindedir. Öyleyse toplamın küpü ve farkın küpü açılımları şöyle olacaktır:

(a + b)³ = a³ + 3a²b + 3ab² + b³

(a – b)³ = a³ – 3a²b + 3ab² – b³

Dikkat ederseniz a’nın kuvvetleri her kademede azalırken b’nin kuvvetleri de her kademede artmaktadır. Bunu 4. kuvvet açılımı için de aynen uygulayabilirsiniz.

Bütün bu açılımlarda dikkat etmeniz gereken şeylerden biri de aradaki işaret – olduğu zaman açılımda sırasıyla bir +, bir – koyarak devam ediyoruz.

Üç Terimli Toplamın Küpü (Bonus)

Ek olarak da bazı sorularda işimize yarayabilir düşüncesiyle üç terimli toplamın küpünü verelim:

(a + b + c)³ = (a³ + b³ + c³) + 3[(a + b + c).(ab + ac + bc) – abc]

Bu formül matematikte çok karşımıza çıkmayabilir. Ya da çıktığında da sorunun muhtemelen başka bir çözüm yolu vardır. Çünkü bu kadar uzun ve karmaşık formülleri ezbere bilmemizi kimse bizden beklemez.

Ancak iki terimli küp açılımı soruları çarpanlara ayırma sorularının temel unsurlarıdır. Bu nedenle yukarıda verdiğimiz formüllerin çok iyi anlaşılması ve bol miktarda örnek çözülmesi gerekmektedir.

Küp Açılımı Soruları ve Çözümleri

Örnek sorular çözüp çözümlerini paylaşalım. Böylece yukarıda gördüğümüz açılımlar daha iyi öğrenilmiş olur. Size de bu konuda bol miktarda örnek çözmeyi tavsiye ediyoruz.

Soru #1: Ayşe x³ + 8 ifadesini çarpanlarına ayırmak istiyor. Buna göre Ayşe’nin bulması gereken cevap nasıldır?

A) (x + 2).(x² – 2x + 4)

B) (x – 2).(x² – 3x + 4)

C) (x – 2).(x² + 4x + 2)

D) (x + 2).(x² – 2x – 4)

E) (x – 2).(2x² – 4x + 2)

Çözüm: Burada küp açılımı uygulamak için 8’i de 2’nin küpü olarak yazmak gerekir. Öyleyse öncelikle x³ + 2³ elde edilecektir. Ardından yukarıdaki küp toplamı kullanılırsa (x + 2).(x² – 2x + 4) elde edilir. Cevap A seçeneğidir.

Soru #2: Aşağıdaki bazı ifadeler verilmiştir. Bu ifadelerden hangisi x³ – 8y³ ifadesinin çarpanlarına ayrılmış halidir?

A) (x + 4y)(x² + 2xy + 2y²)

B) (x + 2y)(x² + 4xy + 4y²)

C) (x – 4y)(x² +4xy + 8y²)

D) (x – 2y)(x² + 2xy + 4y²)

E) (x – 2y)(x² + 2xy + 2y²)

Çözüm: Seçenekler birbirine benzemektedir. Burada küp farkı şeklinde ifade etmemiz gerekiyor. 8y³ (2y)³ şeklinde yazılabilir. Böyle yazdığımızda eşitliğimiz x³ – (2y)³ olur. Formülü uyguladığımızda (x – 2y)(x² + 2xy + 4y²) şeklinde bulunur. Yani cevap D seçeneğidir.

Soru #3: a³ + 3a²b + 3ab² + b³ = 27 eşitliği verilmiştir. Buna göre a + b kaç bulunur?

A) 2

B) 3

C) 6

D) 8

E) 9

Çözüm: Yukarıdaki ifade tam olarak (a + b)³ yani parantez küp alma işleminin sonucudur. Öyleyse a + b nin bulunması için küp kök almak gerekir. 27’nin küp kökü de 3 olduğuna göre cevap B seçeneğidir.

Soru #4: 2x – y = 4 eşitliği verilmiştir. Buna göre 8x³ – 12x²y + 6xy² – y³ ifadesinin değeri ne olur?

A) 2

B) 4

C) 16

D) 48

E) 64

Çözüm: Dikkatli incelersek iki ifade arasındaki ilişkiyi görebiliriz. (2x – y) ifadesinin küpünü alırsak 8x³ – 12x²y + 6xy² – y³ ifadesini elde ederiz. Öyleyse 4’ün de küpünü alalım. 4³ = 64 olduğuna göre doğru cevap E seçeneğidir.