Logaritma Kuralları

Logaritma şüphesiz ki matematiğin en önemli konularından biridir. Hem üniversite sınavlarında her sene mutlaka ama mutlaka soru çıkar hem de bazı üstel soruları çözmek için de logaritmayı bilmek gerekir. Bu yazıda yazılılardan yüksek not almak ve konuyu iyi öğrenmek için logaritma kuralları üzerinde duracağız.

Eğer temel olarak logaritmanın ne olduğunu bilmiyorsanız logaritma nedir başlıklı yazıyı okumanızda yarar vardır.

Kısacası logaritmada esas olan “üssü kaç olursa bunu verir” sorusudur.

Logaritmanın Temel Kuralları

Önce logaritmada tanım aralığı üstünde duralım.

• Logaritmada taban da üstteki sayı da pozitif olmak zorundadır. Yani log_a^b şeklinde tanımlanan bir logaritma fonksiyonunda a > 0 ve b > 0 olmak zorundadır.
•  Logaritmada taban 1’den farklı olmak zorundadır. Yani log_a^b şeklinde ise a ≠ 1 kuralı vardır.

Örnek: Log_a^x şeklinde bir logaritma fonksiyonu tanımlanmıştır. Buna göre a ve x ikilileri sırasıyla aşağıdaki seçeneklerden hangisi olabilir?

A) a = 1 ve x = 2

B) a = 0 ve x = 3

C) a = -1 ve x = 2,5

D) a = 2 ve b = -1

E) a = 3 ve b = 1

Çözüm: Taban da üs de pozitif olacaktır. Bu nedenle B, C ve D seçenekleri doğrudan elenecektir. Aynı zamanda taban da 1’den farklı olacaktır. Öyleyse A seçeneği de elenir. Cevap E seçeneğidir. Üs 1 olabilir. Sakınca yoktur.

Şimdi de biraz genel logaritma kuralları üzerinde duralım.

Logaritmada  y = log_a^b ise b = a^y olur. Bunu yine aynı mantıklı şöyle düşünebiliriz: 3 üzeri kaç 9 eder? Cevap 2. Öyleyse log₃⁹ = 2 olur.

Logaritma İşlemler

Yukarıda logaritmanın tanım aralığı şartlarını verdik. Bu şartlar çok iyi öğrenilmelidir. Ancak bir de logaritmada işlem yapabilmek için bazı kurallarımız bulunmaktadır. Siz bunlara logaritma formülleri de diyebilirsiniz.

Aşağıda yer alan logaritma işlem kuralları çok ama çok iyi öğrenilmelidir.

1. log_a(x.y) = log_ax + log_ay
2. log_a(x/y) = log_ax – log_ay
3. log_aa = 1 olur. (üs ve taban aynı)
4. log_a1 = 0 olur. (üs 1 ise her zaman 0 olur.)
5. a^log_bc = c^log_ba  burada a ile c yer değiştirebilir.
6. a^log_ax = x^log_aa = 1 olur. 4. ve 5. kurallardan bu sonuç çıkıyor.
7. log_a^x = 1 / log_x^a eğer üs ve tabanın yerini değiştirmek istiyorsanız üstüne 1 bölü (1/) koymanız yeterlidir.

Doğal Logaritma (ln)

Logaritmanın tabanı e olursa bu logaritmaya doğal logaritma deriz. Bu kısaca ln diye gösterilir. Bunu gördüğünüzde korkmayın. log_e^x = lnx olur. Onun dışında ekstra bir durum yoktur.

Örnek: 2.lne aşağıdakilerden hangisine eşittir.

A) 1

B) 2

C) 3

D) e

E) 2e

Çözüm: lne demek log_e^e demektir. Yukarıda gördüğümüz kural gereği taban ve üs eşitse cevap 1 olur. Soruda 2lne dediği için cevap 2 olacaktır. Yani B seçeneğidir.

Bayağı Logaritma

Bazen logaritmanın tabanı 10 olur. Bu durumda buna bayağı logaritma deriz ve tabanı ayrıca belirtmeyiz. Birçok ölçün biriminde bu logaritma kullanıldığı için buna özel bir durum geliştirilmiştir.

Örneğin log2 gibi bir ifade görürseniz bu log₁₀² demektir. Yine aynı şekilde log5 demek log₁₀⁵ demektir. Bazı bayağı logaritmaların değerini verelim.

• log10 = log₁₀10=1
• log100 =log₁₀10² = 2
• log1000 =log₁₀10³ = 3
• log10000 =log₁₀10⁴ = 4
• log100000 =log₁₀10⁵ = 5

Örnek: Log2 + log5 işleminin sonucu kaçtır?

A) 1

B) 2

C) 7

D) log7

E) 10

Çözüm: Yukarıda verdiğimiz kuralda gördük ki logaritmada tabanlar aynıysa toplamada üstler çarpılır. Öyleyse bu toplamın sonucu log₁₀(5.2) = log₁₀10 olur. Bu da 1’dir. Cevap A seçeneğidir.

Logaritmada Taban Değiştirme

Yukarıda verdiğimiz kurallar çoğu sorunun çözümü için yeterlidir. Sadece bazı sorularda taban değiştirmemiz gerekebilir. Bu tür soruları da taban değiştirmeyle yapabiliriz. Taban değiştirme şöyle yapılır:

Bir logaritmanın tabanı istediğimiz bir sayıya çevirmek istersek o tabanda üs sonra o tabanda taban olarak yazıp böleriz. Karışık geldiyse üzülmeyin. Örnek üzerinden çok daha basit gelecektir.

Örneğin log₂⁹ şeklinde bir logaritmamız olsun. Bunun tabanını 3 yapmak istersek yapmamız gereken hem 2 ile hem 9 ile yazıp üsttekini alttakine bölmektir. Bu da log₃⁹ / log₃² şeklinde olur. Görüldüğü gibi logaritmayı 3 tabanına çevirdik.

Örnek: log₃⁷ = x eşitliği verilmiştir. Buna göre log₇⁹ ifadesinin x türünden eşiti nedir?

A) x

B) 2/x

C) x/2

D) 3x

E) 7x

Çözüm: log₇⁹ ifadesini 3 tabanında yazalım. Bu da log₃⁹ / log₃⁷ olur.  log₃⁹ = 2 olduğuna göre değerimiz 2/x bulunur. Yani cevap B seçeneğidir.