Üçgenin Çevresi

Geometrinin en temel şekilleri üçgenlerden. Üçgenin çevresi ve alanı geometri öğrenmek isteyen bir insanın ilk öğrenmesi gereken bilgiler arasında yer alır. Bu yazıda basit gibi duran ancak içerisinde birçok farklı soru tipini barındıran üçgenin çevresi üzerinde duracağız.

En basitinden önce üçgenin çevresinin formülünü verelim. Kenarları x, y ve z birim olan bir üçgende çevre formülü Ç = x + y + z şeklinde bulunabilir.

Eğer elinizdeki üçgen bir eşkenar üçgense bu durumda kenar uzunluklarının tamamı eşit olacaktır. Bu nedenle eşkenar üçgenin çevresi bir kenar uzunluğunun 3 katıdır. (Çevre = 3a)

Üçgenin çevresiyle ilgili sorularda dik üçgen karşımıza çok sık çıkmaktadır. Dik üçgende bir kenar bilgisi eksik verilerek çevre sorulabilir. Bu durumda eksik kenarı bulmak için Pisagor bağıntısını kullanmanız gerekecektir.

Örnek: Dik kenarları 3 ve 4 cm olan bir dik üçgenin çevresi kaç cm olur?

Çözüm: Dik üçgende dik kenarlar 3 cm ve 4 cm ise Pisagor eşitliğinden uzun kenar (hipotenüs) 5 cm olacaktır. (5² = 4² + 3²)

Üçgenin Çevresi ve Alanı

Üçgenin çevresiyle alanı arasında bir ilişki bulunur. Genel olarak kenar uzunlukları fazla yani çevresi büyük olan üçgenlerin alanları da büyüktür. Eşit çevreli iki üçgenden kenar uzunlukları birbirine yakın olan üçgenin alanı daha büyük olur.

Kenar uzunlukları bilinen bir üçgenin çevresinden alanını bulmak mümkündür. Öğrenciler arasında u’lu formül olarak bilinen bir formül bulunmaktadır.

Üçgenin kenar uzunluklarına a, b ve c birim derken üçgenin çevresi = a + b + c olur. Çevrenin yarısına u dersek üçgenin alanı √[u.(u-a).(u-b).(u-c)] formülüyle bulunur.

Bu formül kenarları arasında herhangi bir özel açı olmayan üçgenlerde kullanılabilir. Ancak üçgende dikme indirme imkanı varsa ya da kenarlar arasındaki açının sinüs değeri biliniyorsa sinüslü alan formülü kullanmak daha mantıklı olacaktır.

Kosinüs Teoremi

Bir üçgende 2 kenar uzunluğu ve bu kenarların arasındaki açı biliniyorsa kosinüs teoremi ile üçüncü kenar bulunur. Üç kenar uzunluğu biliniyorsa üçgenin çevresi de kolaylıkla bulunur.

Yine kenar uzunlukları a, b ve c birim olan bir üçgende a ve b kenarı ve aralarındaki açın biliniyorsa kosinüs teorimi formülüyle c kenarının uzunluğu da bulunur. Kosinüs teoremi formülü c² = a² + b² – 2.a.b.cosα şeklindedir. Örnek çözerek kosinüs teoremini oturtalım.

Örnek: Bir ABC üçgeninde iki kenar uzunluğu 6 ve 10 birim olarak verilmiştir. Bu kenarlar arasındaki açı da 120 derecedir. Bu durumda üçgenin bilinmeyen kenarı kaç birim olur?

Çözüm: Kosinüs teorimini uygulayalım. Teoreme göre c² = a² + b² – 2.a.b.cos olur. Öyleyse c² = 6² + 10² – 2.6.10.cos120 olur. Burada 120 derecenin kosinüs değerini bilmemiz gerekir. Cos120 = -1/2 olur. Bu durumda c² = 136 – 120.(-1/2) → c² = 194 bulunur. Her iki tarafın karekökünü alırsak c = 14 birim bulunur.