İki Nokta Arasındaki Uzaklık

admin | Mart 20, 2019 | Geometri | Yorum yapılmamış

10. sınıf ve 11. sınıf geometri müfredatı dahil olmak üzere bütün analitik geometri konularında iki noktası arasındaki uzaklık önemli bir konudur. Koordinat sistemi üzerinde nokta, doğru, çember gibi kavramları inceleyebilmek için iki nokta arasındaki uzaklık en temel bilgidir. Örneğin analitik düzlemde doğru parçalarıyla oluşturulmuş üçgen gibi bir geometrik şeklin alanını bulmak için de yine iki nokta arası uzaklık iyi bilinmelidir.

Basit bir formüle dayanan bu konunun temel mantığı geometriden bildiğimiz Pisagor eşitliğidir. İki nokta arasındaki uzaklık soruları için kullanacağımız basit bir formül bulunmaktadır. Bu formülü görsel olarak da gösterip mantığını iyi anlarsak bütün soruları rahatlıkla çözeriz. Ayrıca analitik geometrinin de önemli bir konusunu halletmiş oluruz.

Yazı içerisinde konuyu basit bir şekilde anlatmaya çalışacak ve örnek sorularla bilgimizi pekiştireceğiz.

İki Nokta Arasındaki Uzaklık Formülü

Analitik geometride bazen noktalar bize şekil üzerinde verilir. Bazen de noktaların yeri belirtilmez ancak noktanın koordinatı bildirilir. Analitik düzlem bir düzlem olduğu için iki boyutludur. Her noktasının yeri iki rakamla ifade edilir. Örneğin A(3, 1) noktasında 3, x (apsis) doğrusu hizasındaki yeri, 1 ise y (ordinat) doğrusu hizasındaki yeri bildirir.

Aşağıdaki görselde iki nokta arasındaki uzaklığın nasıl bulunacağı formülle gösterilmiştir.

Formül kısaca x’ler farkının karesi ile y’ler farkının karesinin toplanması ve çıkan sonucun karekökünün alınması şeklindedir. Geometriden bildiğinin Pisagor bağıntısının aynısı yapılmaktadır.

Formül ilk başta basit gelse de birçok öğrenci bunu karıştırabilmektedir. O yüzden örneklerle bunu pekiştirmek gerekir.

Noktalar Arasındaki Uzaklık Soruları

Formülü öğrendik. Şimdi de örnek sorular üzerinde konuyu pekiştirelim.

Soru #1: Analitik düzlemde bulunan A(2, 3) ve B(8, 11) noktaları arasındaki mesafe kaç birimdir?

Çözüm: Apsisler ve ordinatlar farkını alıp karelerini toplayalım. Apsisler 2 ve 8 olduğundan farkları 6 olur. Ordinatlar ise 3 ve 11 olduğundan farkları 8 olacaktır. Bu durumda IABI = √(6² + 8²) = √100 = 10 bulunacaktır.

Fark alınırken hangi noktadan hangisini çıkardığımız önemli değildir. A’dan B ya da B’den A çıkarılabilir. Ancak hangisinden hangisini çıkarıyorsak iki nokta için de bunu yapmamız daha kolay olacaktır.

Soru #2: Analitik düzlem üzerinde A(1, 2) noktası ile L(-5, 4) noktaları birleştiriliyor ve AB doğru parçası elde ediliyor. Buna göre bu doğru parçasının uzunluğu ne kadardır?

Çözüm: AB doğru parçasının uzunluğu A ve B noktaları arasındaki uzaklıktır. Aynı formül için apsis ve ordinat farkına bakmamız gerekir. Apsisler 1 ve -5 olduğuna göre aradaki fark 6 birimdir. Ordinatlar 2 ve 4 olduğuna göre aradaki fark 2 birimdir.

Öyleyse 6² + 2² = 36 + 4 = 40 olarak bulunur. Böylece |AB| = √40 = 2√10 bulunur.

Soru #3: Koordinat düzlemi üzerinde işaretlenen X(2, a) ve Y(6, 12) noktaları arasındaki uzaklık √41 birim olduğuna göre a’nın alabileceği değerler çarpımı kaçtır?

Çözüm: Formülü uygularsak (6 – 2)² + (12 – a)² = 41 olmalıdır. Bu durumda 4² + (12 – a)² = 41 → (12 – a)² = 41 – 16 = 25 bulunacaktır. (12 – a)² = 25 olduğuna göre (12 – a) = 5 veya (12 – a) = -5 olabilir. Birinci durum için a = 7, ikinci durum için a = -17 bulunur. Bu durumda a’nın alabileceği değerler toplamı da 7. (-17) = -119 bulunur.

İki Noktanın Orta Noktası

İki nokta arasındaki uzaklığı öğrendik. Bir de sorularda iki nokta verip bu noktaların orta noktası da sorulabilir. İki noktanın orta noktasını bulabilmek için apsis ve ordanitların aritmetik ortalaması alınır. Formül vermek yerine örnek üzerinden bakalım.

A(1, 1) noktası ile B(3, 3) noktasının orta noktası (2, 2) noktası olur. Çünkü 1 ile 3’ün aritmetik ortalaması 2 olacaktır.

Örnek: K(2, -5) noktası ile L(8, 3) noktasının birleştirilmesiyle oluşturulan doğru parçasının tam orta noktasında bir işaret konuyor. İşaretli yerin koordinatları nedir?

Çözüm: Soru basitçe bize K ve L’nin orta noktasını sormaktadır. Öyleyse aritmetik ortalama alacağız. Apsisler için aritmetik ortalama (2 + 8) / 2 = 5 bulunur. Ordinatlar için aritmetik ortalama alırsak (3 – 5) / 2 = -1 bulunur. Bu durumda orta noktanın konumu (5, -1) olur.

Konuyla ilgili test örnekleri çözerek de bol miktarda pratik yapabilirsiniz. Zaten analitik geometrinin neredeyse her konusunda noktalar arasındaki uzaklıkla karşılaşırsınız. Formülün mantığını iyi anlarsanız bu tür soruları çözmekte zorlanmazsınız.