a Küp Artı b Küp Açılımı

Matematikte birçok işlem çeşitli özdeşliklerle kolay yapılabilir. Özellikle çarpanlara ayırma konusunda çok ön plana çıkan bu özdeşlikler matematiğin neredeyse her konusunda işimize yaramaktadır. Bu yazıda a küp artı b küp açılımı üzerinde duracak ve ilgili eşitlikleri paylaşacağız.

Öncelikle eşitliği verelim:

a3 + b3 = (a + b).(a2 – ab + b2)

Burada işlem artı olduğu zaman ilk parantezin +, ikinci parantezin ortasının – olmasına dikkat etmeliyiz. Eğer işlem çıkarma işlemi olsaydı bu durumun tersi olacaktı. Yani formül şu şekilde olacaktı:

a3 – b3 = (a – b).(a2 + ab + b2)

Bu iki formülü bilirsek eğer matematikte birçok konuda büyük kolaylıklar sağlarız. Formüllerin ispatını yapmak için parantez içini dağıtabiliriz. Ancak her seferinde formül ispatını yapmak yerine ezberlemek daha kolay olacaktır.

Parantez Küp Açılımı

Sorularda öğrencilerin sık yaptığı bir hata bulunmaktadır. Bu hata a küp artı b küp açılımı ile parantez küp açılımını karıştırmaktır. İki sayının küplerini toplamak ile toplamlarının küpünü almak birbirinden farklı sonuç verecektir. Parantez küp açılımı formülleri aşağıdaki gibidir:

(a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3

(a – b)3 = a3 – 3a2b + 3ab2 – b3

Dikkat edersiniz burada önce parantez içerisine alınmış, ardından küpü alınmıştır. Bu nedenle bu eşitlikler öğrenciler arasında kısaca parantez küp açılımı olarak bilinmektedir.

Yukarıda küp toplamı formülü ve küp farkı formülü verilmişti. İki küp farkı ve toplamı ile ilgili sorular çözerek bilgimizi biraz daha pekiştirelim.

İlgili yazı: Küp açılımı

Küp Açılımı Soruları ve Çözümleri

Özellikle a küp artı b küp açılımı ili ilgili soruları ele alarak çözüm sağlayalım.

Örnek #1: a3 + 27 ifadesinin çarpanlarına ayrılmış hali aşağıdakilerden hangisidir?

A) (a + 3).(a2 – 6a + 9)

B) (a + 3).(a2 – 3a + 9)

C) (a – 9).(a2 + 3a + 9)

D) (a + 9).(a2 – 6a + 9)

E) (a + 3).(a2 – 12a + 6)

Çözüm: Soruda küp toplamı formülü kullanabilmek için 27’yi 33 şeklinde ifade edelim. Böylece ifademe a3 + 33 olur. Eşitliğimizi aynen yazalım a3 + 33 = (a + 3).(a2 – 3a + 9) olur. Bu durumda doğru yanıt B seçeneği olacaktır.


Örnek #2: Aşağıdaki seçeneklerden hangisi a3 – 8b3 ifadesinin çarpanlarına ayrılmış halini göstermektedir?

A) (a – 8b)(a2 +4ab + 8b2)

B) (a + 2b)(a2 + 4ab + 4b2)

C) (a – 2b)(a2 + 2ab + 4b2)

D) (a + 4b)(a2 + 4ab + 4b2)

E) (a – 4b)(a2 + 8ab + 2b2)

Çözüm: Yine soruyu iki küp farkı şeklinde yazmaya çalışalım. 8b3 ifadesinin (2b)3 olduğuna dikkat etmemiz gerekir. Bu şekilde yazarsak a3 – (2b)3 şeklinde olur. Şimdi formülü uygulayabiliriz: (a – 2b)(a2 + 2ab + 4b2) şeklinde elde edilir. Bu da C seçeneğinde yer almaktadır.


Örnek #3: a ve b a > b şartını sağlayan iki reel sayıdır. Bu iki sayıyla ilgili a – b = 5, a.b = 20 ve a2 + b2 = 28 eşitlikleri verildiğine göre a3 – b3 ifadesinin değeri kaçtır?

A) 185

B) 195

C) 205

D) 210

E) 220

Çözüm: a3 – b3 ifadesini açalım. a3 – b3 = (a – b).(a2 + ab + b2) şeklindedir. Burada bildiklerimizi yazalım: a3 – b3 = 5.(ab + 28) ve a.b ifadesi de 20 olduğuna göre a3 – b3 = 5.(20 + 28) bulunur. Buradan da 5.48 = 220 bulunacaktır. Cevap E seçeneğidir.

Yorum YAZIN

E-posta hesabınız yayımlanmayacak. Gerekli alanlar * ile işaretlenmişlerdir

two × 4 =