Çarpanlara Ayırma

Matematikte bütün konular birbiriyle bağlantılı olduğu için hepsi çok önemlidir deriz. Ancak ille de matematiğin en önemli konusu nedir derseniz bu sorunun cevabı bizce çarpanlara ayırma konusudur. Hem kendi başına bir konu olması hem de en temel matematikten en ileri matematiğe kadar her konuna bize gerekli olması açısından bu konu çok önemlidir.

Bu nedenle bu yazıda çarpanlara ayırma konusunu detaylı ve basit bir düzeyde anlatmaya dikkat edeceğiz. Yazıyı dikkatli okumanızı ve gerekli yerleri not almanızı tavsiye ederiz.

Birçok öğrenci matematiğim zayıf, işlem yapamıyorum diyor. Bunun nedeni de yine çarpanlara ayırma bilgisinin eksik olmasıdır.

Hatta şunu diyelim; çarpanlara ayırmayı ve denklem kurmayı iyi bilen bir öğrenci bütün matematiği alıp götürür.

Çarpan Ne Demek?

Çarpanlarına ayırmayı iyi öğrenmek için çarpan kavramını iyi anlamak gerekir. Her sayının çarpım şeklinde ifade edildiği çarpanları vardır. Sayıları çarpanlarıyla ifade edebilmek bu konun en önemli aşamasıdır.

Çarpan ne demek

Örneğin 12 sayısını çarpanlarına ayırmak istersek iki çarpanın çarpımı şeklinde yazmamız yeterli olacaktır. 12’yi 3.4, 2.6 şeklinde yazmaya çarpanlara ayırma denir. Bazen 2’den fazla çarpan kullanırız. Yine aynı örnek üzerinden 2.2.3 şeklinde de 12’yi çarpanlarına ayırabiliriz.

Yukarıdaki örnek elbette çok basittir.  Sorularda genellikle denklem ve eşitlikleri çarpanlarına ayırmamız istenir. Basit bir örnek ile yapalım.

Çarpanlara ayırma
Denklemleri çarpanlarına ayırma matematikte en çok yaptığımız şeylerden biridir. Yukarıdaki örnekte (x + 2).(x + 3) çarpımı açarsak x2 + 5x + 6 elde edilecektir. Tersten gidersek 6’nın çarpanları 2 ve 3 şeklindedir. Bunların toplamı ortadaki 5x’in katsayısı olan 5’i verir. Öyleyse ifadeyi (x + 2).(x + 3) şeklinde yazabiliriz.

Ortak Çarpan Parantezine Alma

Bir ifadeyi çarpanlarına ayırırken en çok yaptığımız şey ortak çarpan parantezine almaktır. Ortak çarpan demek bir ifadenin terimlerinde bulunan ortak değerlerdir.

Örneğin 2a + 4 ifadesinde ortak çarpan 2’dir. Çünkü hem 2a ifadesi hem 4 ifadesi 2’nin katlarıdır.

2a + 4 ifadesini 2 ortak çarpan parantezine alırsak 2(a + 2) elde edilir. Bu durumda ifade iki sayının çarpımı şeklinde yazılmıştır. Yani çarpanlarına ayrılmıştır.

2x2 + 4xy ifadesini çarpanlarına ayıralım. Bunun için ortak çarpan ne ona bakmalıyız. İki ifadede de 2 var, bir de iki ifadede de x var. Öyleyse ortak çarpanı 2x olarak yazabiliriz. Bu durumda ifademiz 2x(x + 2y) şeklinde çarpanlarına ayrılır.

Çarpanlarına doğru ayırıp ayırmadığımızı test etmek için parantezi içeri dağıtabiliriz. İçeriği dağıttığımız ifade aynı hale dönüyorsa çarpanlara doğru ayırmışız demektir.

Bilinmesi Gereken Özdeşlikler

Çarpanlara ayırma konusu neredeyse bütünüyle özdeşlikler üzerine kuruludur. İki kare farkı, küp açılımı gibi bazı özdeşlikler çok kullanılmaktadır. Aşağıda paylaşılan özdeşliklerin mutlaka bilinmesi gerekir.

x2 − y2 = (x +y)(x − y)

x2 + 2xy + y2 = (x + y)(x + y)

x2 − 2xy + y2 = (x − y)(x − y)

x2 + y2 = (x + y)2 – 2xy = (x – y)2 + 2xy

x3 + y3 = (x + y)(x2 − xy + y2)

x3 − y3 = (x − y)(x2 + xy + y2)

x3 + 3x2y + 3xy2 + y3 = (x + y)3

x3 − 3x2y + 3xy2 − y3 = (x − y)3

Yukarıdaki özdeşliklerin mutlaka ama mutlaka öğrenilmesi gerekir. Bunları öğrenmek için bolca kullanmak yani bol miktarda örnek matematik sorusu çözmek gerekir.

Çarpanlara Ayırma Soruları

Yukarı çarpanlara ayırma konusu için soru çözmenin önemine değindik. Burada bazı örnekler yapacağız. Buradaki örnekler yukarıdaki bilgileri pekiştirmek amacı taşımaktadır. Pratiklik kazanmak için ise daha fazla soru çözmek gerekecektir.

Soru #1: Aşağıdakilerden hangisinde çarpanlara ayırma işlemi eksik yapılmıştır?

A) 2x + 8 = 2(x + 4)

B) 6 = 2.3

C) 3y + 12 = 3(y + 2) + 6

D) xy + y = y(x + 1)

E) a2 + 3a = a(a + 3)

Çözüm: Seçeneklerde çarpanlara ayırma işlemleri doğru yapılmıştır. Yalnızca C seçeneğinde + 6 gibi bir ifadenin açıkta kalması eksikliktir. Çarpanlara ayırma bittiğinde bütün ifadelerin çarpım şeklinde yazılması gerekir. Cevap C seçeneğidir.


Soru #2: 3a2 + 18a ifadesinin çarpanlara ayrılmış hali aşağıdaki seçeneklerin hangisinde doğru verilmiştir?

A) 3a(a + 6)

B) 3(a + 18)

C) a(3a + 3)

D) 3a2(a + 6)

E) a(a + 3)

Çözüm: İfadelerde ortak olan en büyük değer 3a ifadesidir. Her iki ifadeyi de 3a’ya bölersek a ve 6 elde edilir. Öyleyse çarpanlara ayrılmış ifade 3a.(a + 6) olacaktır. Doğru yanıt A seçeneğidir.


Soru #3: x2 – 9 ifadesinin çarpanlarına doğru ayrılmış hali hangisidir.
A) x(x2 – 9)

B) (x – 3).(x + 3)

C) (x – 3).(x – 3)

D) 3x.(x – 3)

E) x2.(1 – 3x)

Çözüm: Soru bir iki kare farkı sorusudur. İki kare farkı sorularında iki ifadeyi de kareleriyle yazmak gerekir. Bu durumda 9’u da 32 şeklinde yazmak gerekir. İfadeyi x2 – 32 şeklinde yazalım.


Soru #4: a – b = 6 ve x – y = 4 olduğuna göre ax + by – ay – bx işleminin sonucu kaçtır?

A) 12

B) 16

C) 18

D) 24

E) 36

Çözüm: İfadeleri gruplandırarak çarpanlarına ayıralım. Yani ax ve ay ifadelerini a parantezine, by ve bx ifadelerini ise b parantezine alalım. Öyleyse a(x – y) + b(y – x) elde edilir. Soruda bize y – x değil de x – y iverildiğine göre ikinci terimin içerisinin işaretini değiştirelim.

a(x – y) – b(x – y) şeklinde elde edilir. İkisinde de x – y ortak çarpan olduğu için son durumda (x – y).(a – b) yazılabilir. Bu durumda sonuç 4.6 = 24 olur. Cevap D seçeneğidir.


Soru #5: x2 + xy = 10 ve y2 + xy = 15 olduğuna göre x + y’nin negatif değeri kaçtır?

A) -1

B) -2

C) -3

D) -4

E) -5

Çözüm: Bu soru bir özdeşlik sorusudur. İki ifadeyi toplarsak x2 + 2xy + y2 = 25 elde edilir. Bu da (x + y)2 = 25 demektir. Buradan x + y = 5 veya x + y = -5 bulunur. Soruda bizden negatif değer istendiğine göre cevap -5 olur. Doğru yanıt E seçeneğidir.

Bir Yorum

Yorum YAZIN

E-posta hesabınız yayımlanmayacak. Gerekli alanlar * ile işaretlenmişlerdir

six − five =