Parabol Denklemi Yazma

Parabol konusunun iyi öğrenilmesi için diğer birkaç konunun da bilinmesi gerekmektedir. Bu yazıda grafiği verilen bir parabol için parabol denklemi yazma nasıl olur öğreneceğiz.

Ancak öncesinde şunu belirtelim. Eğer parabol konusunu iyi öğrenmek istiyorsanız bağlantılı olarak şu bilgilere sahip olmalısınız:

• İkinci dereceden denklemlerin çözümü
• İkinci dereceden denklemler kökler toplamı ve kökler çarpımı
• Koordinat sistemi
• Doğru denklemleri
• Fonksiyonlar
• Parabol grafiğinden parabol denklemi yazma
• Parabol denkleminde parabol grafiği çizme

Eğer bunları bilirseniz hem parabolleri iyi anlarsınız. Hem de epey bir konu halletmiş olursunuz. Önce parabol nedir diyerek denklem yazma aşamasına geçelim.

Parabol demek ikinci dereceden denklem grafiği demektir. Sorularda bazen  bize denklemi verip grafiği ister, bazen de grafiği zaten vermiştir ve bunun denklemini yazmamızı ister.

Eksenleri Kestiği Noktalar Verilen Parabolün Denklemi

Bazen parabolün eksenleri hangi noktada kestiği grafikte bellidir. Özellikle parabol x eksenini kesiyorsa denklem şu şekilde ifade edilebilir:

y = a(x – x₁).(x – x₂)

Burada x₁ ve x₂ grafiğin x eksenini kestiği noktalardır. Baştaki a ise bir katsayıdır. Eğer a’yı bulmak istiyorsak bilinen diğer noktaları denklemde yerine yazarız. Böylece a katsayısı da ortaya çıkacaktır.

Parabol bir denklem grafiğidir. Parabol üzerindeki her nokta denklemi de sağlamak zorundadır.

---

Örnek: Bir parabol x eksenini (2, 0) ve (6,0) noktalarından kesmektedir. Bu parabol y eksenini ise (0, 12) noktasında kestiğine göre parabolün denklemi nedir?

A) x² – 4x + 6

B) 2x² – 8x + 6

C) x² – 8x + 12

D) 2x² – 6x + 12

E) 3x² – 6x + 2

Çözüm: (2, 0) demek denklemin apsisi 2 ve ordinatı 0 demektir. Yani x ekseni üzerindeki noktalardan bahsetmektedir. Genel denklemi y = a(x – 2).(x – 6) olarak ifade edebiliriz. Ardından a katsayısı bulmak için y ekseni üzerinde kestiği noktalara bakarız. Bu denklemde diğer nokta için y yerine 12 ve x yerine 0 yazarsak 12 = a(0 – 2).(0 – 6) ⇒ 12 = a.(-2)(-6) ⇒ 12 = 12a ⇒ a = 1 bulunur. Öyleyse y = (x – 2).(x – 6) bulunur.

Bunu da dağıtırsak x² – 8x + 12 elde edilir. Verilen 3 noktayı da denklem yerine yazarsak sağladığını görürüz. Cevap C seçeneğidir.

---

Tepe Noktası Bilinen Parabol Denklemi Yazma

Bazen soruda bize eksenleri kestiği nokta değil de parabolün tepe noktası verilir. Bu durumda da parabol denklemini tepe noktası üzerinde ifade etmemiz gerekir. Parabolün tepe nokta T(r, k) noktası olursa burada r tepe noktasının apsisi ve k ise tepe noktasının ordinatı olacaktır. Parabol denklemi de şöyle ifade edilir:

y = a(x – r)² + k

Burada yine a bir kat sayıdır. Eğer denklemde a katsayısını da bulmamız isteniyorsa o zaman grafikle ilgili verilen başka bir bilgiyi de kullanmamız gerekebilir. Bu grafik üzerinde tepe noktası dışında kalan başka bir nokta olabilir.

---

Örnek: Yukarıdaki şekilde tepe noktası T(-1, -4) olarak verilen parabol aynı zamanda y eksenini (0, -3) noktasında kesmektedir. Buna göre parabolün grafiği ne olur?

A) x² + 2x – 3

B) 2x² + 2x + 3

C) 3x² – 2x + 4

D) 3x² – 4x – 1

E) x² – 3x – 4

Çözüm: Heme tepe noktası bilinen parabol denklemini yazalım. y = a(x – r)² + k ifadesinde r yerine -1 ve k yerine -4 yazarsak y = a(x + 1)² – 4 bulunur. Sonra a katsayısını bulmak için y eksenini kesen noktayı yerine koymak için x yerine 0 ve y yerine -3 yazalım. -3 = a(0 + 1)² – 4 ⇒ -3 = a – 4 ⇒ a = 1 bulunur.

Öyleyse denklem y = (x + 1)² – 4 olur. Kare alma işlemini gerçekleştirip bunu açarsak da y = x² + 2x – 3 bulunur. Cevap A seçeneğidir.

---

Parabol denklemi bulurken grafik üzerindeki her noktanın mutlaka ama mutlaka denklemi sağlaması gerektiğini unutmayın. Daha detaylı bilgi için webders.net sitesinde yer alan parabol denklemi yazma konusuna da bakabilirsiniz.