Rolle Teoremi

Türevin geometrik yorumunu anlamadan türevi anlamak mümkün değildir. Geometrik yorumu anlamak için ise çeşitli teoremden yararlanırız. Bu yazıda bu teoremlerden biri olan Rolle Teoremi üzerinde durmaya çalışacağız.

Teorem: [a, b] aralığında sürekli bir f(x) fonksiyonu için fonksiyon (a, b) aralığında türevli ise ve f(a) = f(b) şartı sağlanıyorsa (a, b) aralığında f'(c) = 0 olacak şekilde en az bir c noktası bulunur.

Tanımdan size teorem biraz karmaşık gelebilir ancak mantığını anladığınızda her şey daha kolay gelecektir. Aşağıda teoremin mantığı anlatılmıştır.

Rolle Teoreminin Mantığı

Öncelikle şunu belirtelim ki [a, b] aralığında sürekli olan ve (a, b) aralığında türevli olan bir fonksiyonun her noktasında türev vardır demektir. Bu da keskin uç ya da kırılmanın olmayacağını göstermektedir.

Ayrıca f(a) = f(b) olduğuna göre de demek ki fonksiyon başladığı yere geri dönmüştür. Yani ya f(x) a ve b arasında doğrusal bir fonksiyondur ya da eğrisel olup tekrar dönmüştür.

Eğer doğrusal fonksiyon ise zaten bu x eksenine paralel olacak ve eğimi 0 olduğu için türevi de aralıktaki her noktada 0 olacaktır.

Eğer doğrusal değilse tekrar aynı değere sahip olmak için mutlaka bir en az bir noktada dönmüş olması gerekir. Dönüm noktası ise yerel minimum ya da maksimum noktası olacağına göre burada türev 0 olacaktır.

Grafik üzerinden rolle teoremini daha iyi anlaşılacaktır. Yukarıdaki grafikte f(a) = f(b) şartı sağlanmıştır. İki nokta arasında sürekli ve türevli olan bu fonksiyonun en az bir tane türevi 0 olan noktası olmak zorundadır. Grafik doğrusal olsaydı o zaman her nokta bu şartı sağlayacaktı.

Rolle Teoremi Soruları

Rolle teorimi ile ilgili kök bulma dahil birçok soru tipi gelebilir. Önemli olan bunun ispatını yapabilecek olmaktır. Örnek soruyla bilgimizi pekiştirelim.

---

Örnek: f: [-1, 5] → R olmak üzere f(x) = x² -4x + 5 fonksiyonun Rolle teorimini sağlayan noktanın apsis değeri kaçtır?

A) 0

B) 1

C) 2

D) 3

E) 4

Çözüm: f(a) = f(b) testini uygulayalım. f(-1) = 1 + 4 + 5 = 10 bulunur. f(f) = 25 – 20 + 5 = 10 bulunur. Demek ki bu iki noktada fonksiyon değeri eşittir. Öyleyse bu iki nokta (-1 ve -5) arasında türevi 0 olan en az bir nokta olacaktır.

Fonksiyonun türevini aldığımızda f(x) = 2x – 4 bulunur. Bunu 0 yapan değer ise 2x = 4 → x = 2 değeridir. Cevap C seçeneğidir.

---

Yukarıdaki örnek soruda parabol denklemi olduğu için tek bir noktada dönüm yaşanmış ve sadece bir noktada bu şart sağlanmıştır. Eğer üçüncü dereceden bir fonksiyon olsaydı 2 noktada Rolle teoreminin şartını sağlayabilirdi.

Rolle teoremi ile ilgili örnek sorular çözmek ve teorimini ispatına iyi çalışmak türevin geometrik kısmını anlamamıza oldukça fayda sağlayacaktır.