Logaritma En Geniş Tanım Aralığı
Logaritmada en geniş tanım aralığı soruları sık sık karşımıza çıkmaktadır. Ayrıca yazılılarda başarılı olmak ve logaritmanın mantığını anlamak için de logaritmada tanım aralığını bilmek gerekmektedir. Biz burada basit düzeyde kuralı vereceğiz. Ardından soru çözerek konuyu pekiştireceğiz.
Kural: Logax şeklinde tanımlanan bir fonksiyonda a > 0, x > 0 ve a ≠ 1 olmak zorundadır. Logaritmanın en geniş tanım aralığı da bu şartları sağlayan aralıktır.
Tanım aralığı kuralını özetlersek taban ve üs kesinlikle pozitif olacaktır. Aynı zamanda taban 1’den farklı bir değerde olacaktır. Bunun dışında sorun bulunmamaktadır.
Logaritma Tanım Aralığı Soru Çözümü
Şimdi de örnek sorular çözerek logaritmada tanım aralığı konunu pekiştirelim.
Soru #1: f(x) = log3(x – 5) ifadesini tanımlı yapan en geniş tanım aralığı aşağıdakilerden hangisidir?
A) (0, ∞)
B) (3, ∞)
C) (5, ∞)
D) (3, 5)
E) (-∞, 3)
Çözüm: Soruda taban yani 3 için bir problem bulunmuyor. Öyleyse üs yani x – 5 ifadesinin 0’dan büyük olması yeterlidir. x – 5 > 0 olduğuna göre x > 5 olur. Öyleyse en geniş tanım aralığı da (5, ∞) olur. Cevap C seçeneğidir.
Soru #2: Reel sayılarda ifade edilen log2(27 – x!) ifadesinin tanımlı olabilmesi için x’in alabileceği doğal sayı değerleri kaç tanedir?
A) 4
B) 5
C) 6
D) 7
E) 8
Çözüm: Tabanla ilgili sınırlayıcı bir durum bulunmadığı için üstteki değere bakmamız gerekir. Üstteki değerin 0’dan büyük olması için ise 27 – x! > 0 olmalıdır. Buna göre x = 0, 1, 2, 3, 4 olabilir. Yani toplamda 5 doğal sayı değeri vardır. 0! = 1 olduğunu unutmamalıyız. Cevap B seçeneğidir.
Soru #3: log4(x2 – 2x + 16) logaritma fonksiyonun en geniş tanım aralığı seçeneklerden hangisidir?
A) (8, ∞)
B) (2, 8)
C) (16, ∞)
D) R
E) R – {1}
Çözüm: Logaritmanın üstünün 0’dan büyük olması gerekir. İkinci dereceden denklemler konusu burada devreye girmektedir. Denklemin deltasına yani diskriminantına bakalım. Δ = b2 – 4ac = 4 – 4.16 = -60 bulunur. Δ < 0 olduğundan denklemin reel kökü yoktur.
Bu da demektir ki denklem hiçbir zaman 0 olmamakta, hep pozitif değere sahip olmaktadır. Yani bütün reel sayılar için bu değer sağlanır. Cevap D seçeneğidir.
Soru #4: K = logx(12 – x2) eşitliğinde K’nın bir reel sayı olabilmesi için x’in alabileceği tam sayı değerlerinin toplamı kaçtır?
A) 3
B) 5
C) 7
D) 8
E) 10
Çözüm: Logaritmanın tabanı negatif olamaz. Pozitif olmak zorundadır. Öyleyse 0 da olamaz. Aynı zamanda yukarıda verdiğimiz kurallardan tabanın 1 olamayacağını da söyledik. Öyleyse x > 1 olacaktır. 12 – x2 > 0 olacağından x2 < 12 olur. Buradan da x < √12 olur. Bu eşitsizliği de x = 2 ve x = 3 sağlar. Bunun dışında hiçbir tam sayı değeri sağlamayacaktır. Öyleyse doğru cevap 2 + 3 = 5 yani B seçeneğidir.
Soru #5: logx(x – 1) + log2x(x – 2) + log(x – 3)(x2) ifadesinin bir reel sayıya eşit olması için x aşağıdakilerden hangisi olabilir.
A) 1
B) 2
C) 3
D) 4
E) 5
Çözüm: Logaritmanın tabanı 0 veya 1 olamaz. Üstü de 0 olamaz. Ayrıca hem taban hem üst pozitif olmak zorundadır.
Logaritmanın tabanında x olduğuna göre x 0 ve 1 olmayacaktır. Yine üstte bulunan x – 2 ifadesinin 0’a eşit olmaması için de x 2’den de büyük olmalıdır. Son logaritmanın tabanında x – 3 bulunmaktadır. Buna göre de x = 3 olursa taban 0, x = 4 olursa da taban 1 çıkmaktadır. Her iki değer de logaritmayı tanımsız yapacağından x 3 veya 4 de olamaz. Seçeneklerden x’in alabileceği tek değer 5 olur. Cevap E seçeneğidir.
Logaritma fonksiyonu grafiği incelendiğinde grafiğin y eksenin sağ tarafında kaldığı görülür. Bunun nedeni negatif sayılar için logaritmanın tanımlı olmamasıdır.
Logaritma ile ilgili diğer kuralları da iyi öğrenip soru çözümü yapmak isterseniz logaritma kuralları yazısına mutlaka bakmanızı öneririz.
Ilgili YAZILAR
Yazar Hakkinda Bilgi
admin
notbu.net
