Kare Açılımı

Matematikte işlem yapabilmek için çarpanlara ayırma konusunu iyi bilmemiz gerekir. Bu konuyu iyi bilmek için ise çeşitli özdeşlikler iyi bilinmelidir. Öyleyse bu özdeşliklerin en önemlileri olan kare açılımı üzerinde durmamız gerekir.

Kare açılımı için tam kare farkı, iki kare farkı, iki kare toplamı ve üçlü kare açılımı şeklinde çeşitli özdeşlikler zaten paylaştık. Burada formülleri toplu olarak verelim.

• Tam kare toplamı: (a + b)² = a² + b² + 2.a.b
• Tam kare farkı: (a – b)² = a² + b² – 2.a.b
• İki kare farkı: a² – b² = (a – b).(a + b)
• İki kare toplamı: a² + b² = (a – b)² + 2.a.b = (a + b)² – 2.a.b

Bu nedenle bu formülleri iyi öğrenmeli ve bol miktarda örnek yaparak bunları pekiştirmeliyiz.

Kare Açılımı Örnekleri

Öğrendiğimiz formüllerle ilgili örnek sorular çözerek konuyu pekiştirmeye çalışalım.

Soru #1: a ve b pozitif reel sayılar olmak üzere a² + b² = 15 olarak verilmiştir. Aynı zamanda a.b = 5 olduğuna göre a + b değeri kaç bulunur?

A) 5

B) 6

C) 8

D) 10

E) 12

Çözüm: Soruyu çözmek için en temel eşitlik olan (a + b)² = a² + b² + 2ab formülünü kullanmamız gerekir. Buna göre  (a + b)² = 15 + 2.5 = 25 bulunur. Bunun karakökü ise -5 veya 5 bulunacaktır. Pozitif sayıların toplamı da pozitif olacağı için cevap 5 yani A seçeneği olacaktır.

Soru #2: İki sayının toplamlarının karesi ile karelerinin toplamı arasında 18 fark bulunmaktadır. Bu bilgiler doğrultusunda bu sayıların çarpımı kaç olur?

A) 6

B) 9

C) 12

D) 15

E) 18

Çözüm: Bu soru kare açılımındaki iki kare toplamı sorusudur.  (a + b)² = a² + b² + 2ab eşitliğini yazdığımızda sayılarının toplamlarının karesi solda, karelerinin toplamı ise sağda yer almaktadır. Aradaki fark ise 2ab olmaktadır. Soruda bu bize 18 olarak verilmiştir. Öyleyse ikisinin çarpımı ab = 9 olacaktır. Cevap B seçeneğidir.

Soru #3: İki sayının farkı 10 ve karelerinin farkı 60’dır. Öyleyse bu sayıların toplamı kaçtır?

A) 6

B) 8

C) 10

D) 12

E) 16

Çözüm: Klasik bir iki kare farkı sorusudur. Kare açılımıyla birlikte iki kare farkı da iyi bilinmelidir. İki kare farkını yazarsak a² – b² =  (a – b).(a + b) olarak ifade ederiz. Buna göre 60 = 10.(a + b) olduğuna göre a + b = 6 bulunur. Cevap A seçeneğidir.

Soru #4: x ve y birer reel sayı olmak üzere x – y = 8 ve x.y = 6 şeklinde verilmiştir. Bu bilgilere göre x² + y² işleminin sonucu nedir?

A) 52

B) 64

C) 68

D) 72

E) 76

Çözüm: Burada da tam kare farkı uygulanmalıdır. (a – b)² = a² + b² – 2ab özdeşliğinde verilenleri yerine yazalım. 8² = x² + y² – 2.6 ⇒ 64 = x² + y² – 12 olur. Buradan da x² + y² = 76 bulunur. Cevap E seçeneğidir.

Sizler de konuyu çok iyi öğrenmek istiyorsanız kare açılımı ve diğer özdeşlikler ile ilgili bol miktarda örnek çözmelisiniz. İlk etapta size formüller karışık gelse de zamanla kesinlikle oturacaktır. Vaktiniz varsa küp açılımı formüllerine de mutlaka bakmanızı öneririz.